遇难而退与遇难而进
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摘 要：2001年启动的新一轮课程改革中提出“数学素质是公民必须具备的一种素质”，并以提高学生的数学素养作为数学课程的核心目标. 数学素养包括数学知识、数学能力和数学情意三个方面. 用科学的数学思想和方法、完备的数学知识结构体系高质量地解决问题，从而发展高层次数学能力，是中学数学课堂应初步具备的.
关键词：数学素养；数学知识；数学能力；数学情意；中学数学课堂
1959年英国的克劳瑟报告首次提出数学素养（Numeracy）这一概念，用以概括现代社会中从事与数学相关活动的人所必须具备的能力，包括对观察、假设、实验、验证的科学研究方法的理解，以及能够从定量角度思考和认识现代社会中的问题. 此后，世界上各发达国家对当代社会中的合格公民以及从事与数学相关工作的人到底应该具备哪些与数学相关的知识、技能、方法、能力、态度、观念等，进行了大量的研究，提出了相当多的术语概念. 尽管这些术语的定义各异，但基本上都指向一个共同的内核，即当代社会中不同类型的人所必须具备的，与数学相关的学识、能力、观念和态度，简称为“数学素养”. 经过近几十年的探讨，人们基本认可“数学素养”指的是人在数学经验积累的基础上，生成并外显出来的可用于指导特定背景或区域中数学活动的一种整体和思想特征，这里的行为和思想特征主要通过数学知识、数学能力以及数学情意等表现出来.
数学知识包括数学内容知识、思想方法、学科结构和数学情意知识等. 数学能力包括思维和运用的能力，诸如运算求解，空间想象，演绎推理，抽象概括，数据处理，数学直觉，数学式地提出问题、分析问题和解决问题，交流与表达，数学建模，数学实验等方面. 数学情意则包括数学情绪、信念、态度和价值观.
数学素养概念的提出，是人们对现代社会条件下数学教育目的反复思考的结果，引发了世界各国数学课程的大变革. 2001年我国启动的新一轮课程改革，提出数学是人类文化的重要组成部分，数学素质是公民所必须具备的一种基本素质. 在2003年，中国教育部制定的普通高中数学课程标准（实验）中指出，数学教育在学校教育中占有特殊的地位，它使学生掌握数学的基础知识、基本技能、基本思想，使学生表达清晰，思考有条理，使学生具有实事求是的态度、锲而不舍的精神，使学生学会使用数学的思考方式解决问题，认识世界. 高中数学课程是义务教育后普通高级中学的一门主要课程，它包含了数学中最基本的内容，是培养公民素质的基础课程. 在标准中提出目标要求包括三个方面：知识与技能，过程与方法，情感、态度与价值观的三维目标，与“数学素养”概念的观点相一致.
因此，在高中数学课堂中如何培养学生的数学素养，显得尤为重要. 在教学过程中，应随时注意学生数学素养的养成，点滴积累，让学生养成一种学习数学的良好习惯. 在不断坚持下，学生的数学素养必定会慢慢提高.
例 已知椭圆C经过点A1
，，两个焦点为（-1，0），（1，0）.
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知E，F是椭圆C上的两个动点，若直线AE的斜率与直线AF的斜率互为相反数，则证明：直线EF的斜率为定值，并求出这个定值.
解：（1）方法1：设椭圆C的方程为+=1.
由条件有：
+
=1，
a2=b2+1，
解得a2=4，b2=3.
所以椭圆C的方程为+=1.
方法2：
由条件可知：2a=+=4.
所以a=2，
所以b2=3.
所以椭圆C的方程为+=1.
在解决第一问时，大部分学生用的是第一种方法，很少有学生用第二种方法.这体现出学生数学知识的缺失，学科结构不够完整，或学生没有形成完整的学科知识结构. 在本问题中，方法1是可以接受的，给学生带来的运算困难并不是很大，与方法2比较，方法2应该更合适.但遇到有些问题时，方法1会带来很大的困难，导致解题失败. 如：已知椭圆的焦点与双曲线-x2=1的焦点相同，且椭圆经过点A
，-4，则此椭圆的标准方程为________. 同样类型的问题，但用方法1的学生会比用方法2的学生遇到的困难大得多. 用方法1的学生应遇难而退，选择优法.
（2）方法1：设E（x1，y1），F（x2，y2）.
则有：+=1，+=1，= -.
目标：求证为定值.
这种方法是如此的自然，数学直觉告诉我们，四个未知元三个方程，求元之间的关系，应该是可以解决问题的. 但因为学生计算方法不对，计算难以为继，陷入计算的泥沼之中，无法自拔，最终没有结果. 此时，应先退一步，考虑用其他途径解决难题.
遇难而进，坚定信念
方法2：设直线AE的方程为y-=k（x-1），直线AF的方程为y-=-k（x-1）.
联立方程组
y-=k（x-1） ，
+
=1 ①及
y-=-kx-1 ，
+
=1， ②.
求出点E，F的坐标，从而求得结果.
此方法是学生最容易想到的，也确实是可行的，学生将直线方程代入椭圆方程中，采用的方法是：如方程组①是3x2+4kx-1
+2=12，计算量偏大，有些学生计算能力不够或信心、毅力不足，放弃求解. 只有部分学生能够真正完成解题任务，缺少应有的数学情感.此时应鼓励学生将这种方法继续下去，完成解题，让学生在艰难的求解过程中前行，体会解决数学问题中的艰辛及解决问题后的快乐，以提升学生的解决问题的能力及数学情感.
在遇难而退及遇难而进之间，另辟他径
方法3：设直线EF的方程为y=kx+b，设点E（x1，y1），F（x2，y2）.
由方程组y=kx+b，
+
=1 可得，（3+4k2）・x2+8kbx+4b2-12=0.
所以x1+x2=-，x1x2=.
又由条件有：=-，y1=kx1+b，y2=kx2+b.
由以上条件，可得k=为定值.
在遇难而退与遇难而进中，思考两种方法的解题思路，整合两种方法，重新得到新的解法. 这是学生在学习中可以借鉴的一种思考问题的方法，让学生在不断改进中提升解题的能力与思考问题的能力，并能把思考方法运用于实际中，从而提升学生的数学学习能力.
重新思考，优化解法，再次知难而进
问题已经通过前面的方法给予解决了，但是在解决的过程中留下了一个问题，就是方法1到底出现了什么状况，为什么解决不了？有什么地方需要调整？虽然我们知难而退，解决了问题，但我们知道，方法是正确的，是可以求解的，我们不能放弃这种很自然的想法，还是得解决，不能真的遇难而退，这是学生需要再次面对的问题.
考虑到椭圆C经过点A1
，，所以椭圆方程可以变形成为：3（x-1）・（x+1）+4
y-
y+=0，这种变形基于椭圆的对称性及圆的直径式方程的形式，需要学生具有完整的知识结构. 当变形到此时，学生首先发现的是方法2的优化过程，可以整体代入：如方程组①
y-=k（x-1），
+
=1的代入过程可以调整为：3（x-1）（x+1）+4k（x-1）[k（x-1）+3]=0，这样可以减少方法2中解方程组的难度，减少运算量，提高解题速度. 但对于方法1来说，似乎还没有找到突破口.
思考：
+=1，+=1，变形为3（x1-1）（x1+1）+4y1
-y1
+=0，3（x2-1）・（x2+1）+4y2
-y2
+=0，= -.
目标：求证为定值.
由3（x1-1）（x1+1）+4y1
-y1
+=0，可得：=-，由3（x2-1）・（x2+1）+4y2
-y2
+=0，可得：=-.
又因为=-，
所以有=-，
所以有：y1x2-x2-y1+= -x1y2
-x1-y2
+，
y1x2+x2+y2+=-
x1y2+x1+y2+
，
所以有：3（x1+x2）=-2（y1+y2）.
再由+=1，+=1，
作差得+=0，
所以=.
在遇到困难，迎难而上的解决过程中，学生会主动思考，想办法去克服困难，解决问题. 在再次思考的过程中，学生体会到形成完整的知识结构的必要性，有助于学生对这部分知识结构的形成，能够帮助学生形成良好的数学品质.
以上的教学过程，将会使学生在知识结构的形成、思考并解决问题的能力提高以及学习数学的毅力和信念等方面得到一定的认识与培养，从而提升学生的数学素养.
数学素养属于认识论和方法论的综合性思维形式，它具有概念化、抽象化、模式化的认识特征. 具有数学素养的人善于把数学中的概念结论和处理方法推广应用于认识一切客观事物，只有具有这样的哲学高度和认识特征，才真正具有一定的数学素养. 让学生具有一定的数学素养不是一蹴而就的，必须在课堂中不断地有意识地去培养.
在高中数学课堂中，数学知识的传授仅仅是课堂的一部分，而更重要的是培养学生的数学素养. 如何才能有效地培养学生的数学素养，是一件不容易但必须去做的事情. 当每堂数学课教师都能围绕培养学生数学素养作为课堂的主旨，学生将会在不断地思考、体会中形成具有自己特色的数学素养. 这样的课堂教学充满活力，学生在积极思考的过程中真正体会到数学学习的快乐及成果，学生会越来越乐于学习数学，数学课堂的教学效果会得到很大提高.