从一道一元二次方程问题感悟题目条件的属性

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有些同学在审题时常常会出现这样的事情，当碰到题设条件数目比较多，或题设条件的形式比较乱时，就如堕云雾之中，失去方向，对这些题设条件不知如何分析与应用.出现这样情况的根本原因是对试题条件的各个属性无法把握.下面笔者以一道高一考统考试题为例进行剖析，说明审题时对题设属性的清醒认识将有助于问题的解决.

题目 已知函数f（x）=ax2+4x+b（a＜0，a，b∈R），设关于x的方程f（x）=0的两实根为x1，x2，方程f（x）=x的两实根为α，β，且|α-β|=1.

（1） 若a，b均为负整数，求f（x）的解析式；

（2） 若α＜1＜β，求（x1+a）（x2+a）的取值范围.

分析 一般情况下，我们把试题的条件分为两类：

第一类是等式的条件，即值（方程）的属性，条件中具有明确的值特征，或隐含性值特征.既然是方程的条件，它的作用就是求出未知数，或通过消元减少未知数个数.

第二类是不等式的条件，即范围的属性，条件中具有明确的范围特征，或含隐性范围特征（如几何运动在某个范围内等），它的作用是确定或限制变量的范围.

解 （1）由题意，f（x）=x，即ax2+3x+b=0的两实根为α，β，则有|α-β|==1，即a2+4ab=9，由a，b均为负整数，得a=-1，b=-2，故解析式为f（x）=-x2+4x-2.

（2） 为实现本文的目的，下面以剖割的方法带领同学们审察此小题.

题意的基础：①关于x的方程f（x）=0，即ax2+4x+b=0的两实根为x1，x2，那必有Δ=16-4ab≥0，x1+x2=-，x1x2=；② 方程f（x）=x，即ax2+3x+b=0的两实根为α，β，则必有Δ=9-4ab≥0，α+β=-，αβ=；③a＜0.

题意的条件：①等式条件|α-β|=1，即a2+4ab=9，它含有两个参数（未知数），既然是等式条件，就可以用来消元，或与另一个方程组成方程组（求出这两个未知数），可是我们已经找不到别的等式（方程）条件了，那么a2+4ab=9只能用来消元了；②不等式条件α＜1＜β，须向a，b转化，记g（x）=ax2+3x+b，由a＜0，知α＜1＜β等价于g（1）=a+3+b＞0，既然是不等式条件，就是用来确定变量的范围的.

下面对上面两个条件综合分析：由a2+4ab=9，得b=，代入a+3+b＞0，化简得＞0，即（a+1）（a+3）＜0，得到a变化的准确范围是（-3，-1）.

题意的目标：求（x1+a）（x2+a）的取值范围.

下面求这个范围：（x1+a）（x2+a）=x1x2+a（x1+x2）+a2=+a2-4=a2+-.令t=a2∈（1，9），结合函数y=t+在t＞0的单调性，可知t=时，y最小值=3，t=9时，y最大值=.这样有a2+-∈-，5，即所求的范围是-，5.

点评 从阅卷情况来看，对于不等式条件α＜1＜β，有的同学用大小根法，即得出＜1＜，化简得＞2a+3＞-，即

|2a+3|＜=|a|，再两边平方，也得出a变化的准确范围是（-3，-1），最后是殊途同归，就是路途长了一点.

审题要高屋建瓴，即站得高一点，看得远一点，要对每一个条件的属性有准确的认识、主要作用有敏锐的判断，这样实现解题目标就很容易了.