广州中考次位压轴题多解研究
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如图1，扇形OAB的半径OA=3，圆心角AOB=90°，点C是AB上异于A、B的动点，过点C作CDOA于点D，作CEOB于点E.连接DE，点G、H在线段DE上，且DG=GH=HE.
（1）求证：四边形OGCH为平行四边形；
（2）当点C在AB上运动时，在CD、CG、DG中，是否存在长度不变的线段？若存在，请求出该线段的长度；
（3）求证：CD2+3CH2是定值.
这道次位压轴题是一道探究性的几何综合题.命题者把矩形ODCE与圆心角为90°半径为3的扇形有机地组成在一起.
首先令考生判定四边形OGCH为平行四边形.当然离不开它的判定方法；其次令考生探究出三条线段CD、CG、DG中的长度不变的线段，并求出式子CD2+3CH2的定值.如果仔细观察、分析、研究图形，便会发现：不仅长度不变的线段存在，而且存在的这一线段求得，与DE=OC=OA=3、DG=GH=HE二等式密不可分；式子CD2+3CH2的定值求得，与图中的直角三角形性质密不可分，但都必须围绕CH2添加辅助线构造直角三角形求之.
基于上述分析，下面一一给出各问的解法：
（1）证明四边形OGCH为平行四边形：
证一：如题图.因为CDOA，OEOB，
所以∠CDO=∠DOE=∠OEC=90°，
所以四边形OECD是矩形，所以EC=OD.
因为EC∥OD，
所以∠CEH=∠ODG，EH=DG，
所以CEH≌ODG（SAS），
所以CH=DG.
同理CG=HO，所以四边形OGCH是平行四边形.
证二：如题图.因为四边形OECD是矩形（已证），
所以OE=DC.
又EG=DH，因为OE∥DC，
所以∠OEG=∠CDH，
所以OEG≌CDH（SAS）.
所以∠OGE=∠CHD，所以OG∥CH.
同理OH∥GC，所以四边形OGCH是平行四边形.
证三：如题图.因为四边形OECD是矩形（已证），
所以CE=OD.又EH=DG，
因为CE∥OD，所以∠CEH=∠ODG，
所以CEH≌ODG（SAS），
所以∠CHE=∠OGD，CH=OG.
因为∠CHG=180°-∠CHE，
∠OGH=180°-∠OGD，
所以∠CHG=∠OGH，所以CH∥OG，
所以四边形OGCH是平行四边形.
证四：如题图.因为四边形ODCE是矩形（已证），
所以CD=EO.
因为CD∥EO，所以∠CDH=∠OEG，
又DH=EG，
所以CDH≌OEG（SAS）.
所以∠CHD=∠OGE，
同理∠OHG=∠CGH.
因为∠OGC=∠OGE+∠CGH，
∠CHO=∠CHG+∠OHG，
所以∠OGC=∠CHO.
易证ECG≌DOH，所以∠ECG=∠DOH.
易证ECH≌DOG，所以∠ECH=∠DOG.
因为∠GCH=∠ECG-∠ECH，
∠HOG=∠DOH-∠DOG，
所以∠GCH=∠HOG.
所以四边形OGCH是平行四边形.
证五：如图2.连结OC交DE于Q.
因为四边形OECD是矩形（已证），
所以OQ=QC，DQ=QE.
易证ECH≌DOG，所以DG=HE.
因为GQ=DQ-DG，QH=QE-HE，
所以GQ=QH，
所以四边形OGCH是平行四边形.
（2）解：线段DG的长度不变.
因为点C是AB上的点，OA=3，
所以OC=OA=3.
因为四边形OECD是矩形（已证），
所以DE=OC=3.
因为DG=GH=HE，
所以DG=13DE=1.
（3）求CD2+3CH2的定值：
证一：如图3，过点H作HFCD于F.
因为ECCD，所以HF∥EC,
所以DFH∽DCE，
所以DFDC=DHDE=23.
所以DF=23CD，CF=CD-DF=13CD.
在RtCFH中，CH2=HF2+CF2=HF2+19CD2，
在RtHFD中，HF2=DH2-DF2=4-49CD2，
所以CH2=4-49CD2+19CD2=4-13CD2.
所以CD2+3CH2=12.
故CD2+3CH2的定值为12.
证二：如图4，延长CH交OE于Q.
因为QC∥OG，EH=HG，
所以EQ=QO，所以QH=12OG.
因为OG=CH，所以QH=12CH，
所以CQ=QH+CH=12CH+CH=32CH.
因为EQ∥CD，
所以EHQ∽DHC，
所以EQCD=EHHD=12，
所以EQ=12CD.
在RtDCE中，EC2=9-CD2.
在RtCEQ中，CQ2=EQ2+EC2.
所以（32CH）2=（12CD）2+9-CD2，
94CH2=14CD2+9-CD2=9-34CD2，
所以3CH2+CD2=12.
故CD2+3CH2的定值为12.
证三：如图5，过点H作HKEC于K.
易知HK=13CD，CK=23CE，
由解二知EC2=9-CD2.
在RtCKH中，CH2=CK2+HK2，
所以CH2=（23CE）2+（13CD）2=49CE2+19CD2，
CH2=49（9-CD2）+19CD2=4-49CD2+19CD2，
所以CH2=4-13CD2，
所以CD2+3CH2=12.
故CD2+3CH2的定值为12.
证四：如图6，延长CH交OE于K至Q，使KQ=HK，过Q作QP∥OE交CE的延长线于P.
易证HK=12CH.
因为HK=KQ，
所以CQ=2CH，易EK=12CD.
因为PQ∥EK，所以CPQ∽CEK，
所以PQEK=CQCK=2CH32CH=43，
所以PQ=43EK=23CD.
在RtCPQ中，CQ2=PQ2+PC2，易证PC=43CE.
所以（2CH）2=（23CD）2+（43CE）2，
4CH2=49CD2+169CE2，
所以CH2=19CD2+49CE2
=19CD2+49（9-CD2）
=19CD2+4-49CD2
=4-13CD2，
所以3CH2=12-CD2，
所以CD2+3CH2=12.
故CD2+3CH2的定值为12.
证五：如图7，延长CH交EO于Q、交DO的延长线于P.
易证PC=3CH，PD=2CE.
由法三知CE2=9-CD2.
在RtPDC中，PC2=PD2+CD2，
所以（3CH）2=（2CE）2+CD2，
所以9CH2=4CE2+CD2，
所以9CH2=4（9-CD2）+CD2=36-4CD2+CD2=36-3CD2，
所以CD2+3CH2=12.
故CD2+3CH2的定值为12.
证六：如图8，延长CH交OE于Q、交DO的延长线于P，过点H作HKPD于K.
因为HK∥OE，
所以DKH∽DOE，
所以HKEO=DHDE=23，
所以HK=23EO=23CD.
易证RtPOQ≌RtCEQ，
所以PQ=CQ=CH+12CH=32CH，
所以PH=PQ+QH=32CH+12CH=2CH.
因为PK=PO+OK=CE+13CE=43CE.
在RtPKH中，PH2=HK2+PK2，
所以（2CH）2=（43CE）2+（23CD）2，
所以4CH2=169CE2+49CD2，
所以4CH2=169（9-CD2）+49CD2
=16-169CD2+49CD2，
所以CH2=4-13CD2，
所以3CH2=12-CD2，
所以CD2+3CH2=12.
故CD2+3CH2的定值为12.
（初三）