费耶三角插值研究综述

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摘要：由于傅利叶级数的重要性，国内外学者对它的研究从未停止过。从1905年费耶证明了费耶定理后，傅利叶级数部分和的研究开始如火如荼，其在计算机图像处理和信号控制领域的应用也引起人们的重视，国内外越来越多的专家投身于这一研究领域。介绍了国内外学者近年来对费耶三角插值的研究成果。

关键词关键词：费耶和；三角插值；傅利叶谱

中图分类号：TP3-0文献标识码：A 文章编号：16727800（2014）002002103

1费耶三角插值构造

众所周知，在傅利叶谱分析中，一旦函数f的狄利克雷和系数通过在等距节点处的数值求积确定下来，结果函数就在这些点处插值f并以高精度逼近连续部分和。通过研究三角多项式和立方样条差值逼近连续费耶和问题，可以得到以下结果：连续费耶和可以通过两个费耶插值的平均以高精度逼近，一个在偶指标结点集插值f，另一个在奇指标结点集插值f，由于立方样条插值容易构造，所以它常被用来代替三角插值。

2费耶三角插值的收敛性

通过恰当地对傅利叶级数求和，就能构造出对每个连续函数都一致收敛的序列，广义的例子有通过合适的矩阵来求和的方法。傅里叶和并不对所有连续函数收敛，而费耶和对所有连续函数都收敛，三角插值理论的几个过程都可以通过费耶和的方式得到，大多数情况下这些多项式的一致收敛性也可以通过对应的多项式显示形式直接得到。由可和函数的费耶定理可以得到一个重要事实，即：所有可和函数均由其傅里叶系数唯一确定。

在B.Szokefalvinagy的文中表明，特殊情况下，当和函数由一个函数φ生成，那么三角傅利叶级数的φ和的一致收敛性便由和函数φ的傅利叶变换来刻画；同样可知，许多关于傅利叶级数收敛性的理论能移植到等距节点的三角插值收敛性，这些多项式可以看作是离散傅利叶级数的部分和。许多人研究过三角插值求和，S.Lozinski的论文表明，在许多情况下，傅利叶级数的每个收敛或可和性理论，都可以移植到等距节点的三角插值过程的收敛性或可和性，这一类型的算子可看作离散算子的特例。

4结语

对连续周期函数逼近常用的工具是傅里叶级数，但是连续函数的傅立叶级数可能处处发散， 而收敛的傅立叶级数却可能不收敛于原函数，因此傅里叶级数并不是一个可靠的工具。通过学者们不懈的研究，现今在逼近论领域涌现出了各种性质更好的插值函数，费耶插值只是其中一种，它们是现代科技应用中的优秀工具和方法，鼓舞着年轻的研究者们孜孜不倦地在这方面做出成果。

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