综合测试(3)
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一、选择题：每小题5分，共25分.
1.一个物体的底座是两个相同的几何体，它的三视图及其尺寸（单位：dm）如图1所示，则这个物体的体积为（ ）？摇
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图1
A. （120+16π）dm3
B. （120+8π）dm3
C. （120+4π）dm3
D. （60+8π）dm3
2. 已知一个平面α，那么对于空间内的任意一条直线a，在平面α内一定存在一条直线b，使得a与b（ ）？摇
A. 平行 B. 相交
C. 异面 D. 垂直
3. 设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列命题：
①若mα，n∥α，则mn；
②若αγ，βγ，则α∥β；
③若m∥α，n∥α，则m∥n；
④若α∥β，β∥γ，mα，则mγ.
其中正确命题的个数是（ ）？摇
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
4. 如图2，长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为（ ）？摇
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图2
A. ■ B. ■
C. ■ D. ■
5. 已知平面α截一球面得圆M，过圆心M且与α成60°二面角的平面β截该球面得圆N.若该球面的半径为4，圆M的面积为4π，则圆N的面积为（ ）
A. 7π B. 9π
C. 11π D. 13π
二、填空题：每小题5分，共15分.
6. 两个相同的正四棱锥组成如图3所示的几何体，可放入棱长为1的正方体内，使正四棱锥的底面ABCD与正方体的某一个平面平行，且各顶点均在正方体的面上，则这样的几何体的体积的可能值有_______个.
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图3
7. 如图4，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为线段AA1，B1C上的点，则三棱锥D1-EDF的体积为_________.
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图4
8. 某种游戏中，黑、黄两个“电子狗”从棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A出发沿棱向前爬行，每爬完一条棱称为“爬完一段”；黑“电子狗”爬行的路线是AA1A1D1…，黄“电子狗”爬行的路线是ABBB1…. 它们都遵循如下规则：所爬行的第i+2段与第i段所在直线必须是异面直线（其中i是正整数）. 设黑“电子狗”爬完2006段，黄“电子狗”爬完2007段后各自停止在正方体的某个顶点处，这时黑、黄“电子狗”间的距离是_______.
三、解答题：每小题15分，共60分.
9. 如图5，棱柱ABC-A1B1C1的侧面BCC1B1是菱形，B1CA1B.
（1）证明：平面AB1C平面A1BC1；
（2）设D是A1C1上的点，且A1B∥平面B1CD，求A1D∶DC1的值.
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图5
10. 如图6，已知E，F分别是矩形ABCD的边AB，CD的中点，G是EF上的一点，将GAB，GCD分别沿AB，CD翻折成G1AB，G2CD，并连结G1G2，使得平面G1AB平面ABCD，G1G2∥AD，且G1G2
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图6
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图7
（1）证明：平面G1AB平面G1ADG2；
（2）当AB=12，BC=25，EG=8时，求直线BG2和平面G1ADG2所成角的余弦值.
11. 已知某几何体的直观图和三视图如图8所示，其正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形.
（1）证明：BN平面C1B1N.
（2）设直线C1N与平面CNB1所成的角为θ，求sinθ的值.
（3）M为AB的中点，在CB上是否存在一点P，使得MP∥平面CNB1？若存在，求出BP的长；若不存在，请说明理由.
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图8
12. 如图9，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为菱形，且∠BAD=60°，A1A=AB，E为BB1延长线上的一点，D1E平面D1AC.
（1）求二面角E-AC-D1的大小；
（2）在D1E上是否存在一点P，使A1P∥平面EAC？若存在，求D1P ∶PE的值；若不存在，说明理由.
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图9