基于TI―Navigator技术的数学理解型教学研究
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[摘 要] 作为数学课堂活动的一个基本要素，现代科技已经成为教师的教、学生的学和问题解决中必备的工具。研究以德州仪器公司TI-Navigator课堂连接技术为例，着重探讨TI-Navigator技术环境下数学理解型教学方式的变革。研究表明，基于ti-navigator技术的课堂网络环境改变了师生及其与教学内容交互作用的方式，增强了教与学的联系与制约，形成了自主探索与社会协商更为协调的课堂教学生态。研究的启示是，在技术丰富的环境中，必须深化对人与技术的互动本性的认识，并对由此产生的认知与教学问题给予足够的重视。
[关键词] TI-Navigator技术； 课堂环境； 数学理解型教学； 工具中介
[中图分类号] G434 [文献标志码] A
[作者简介] 徐兆洋（1966―），男，江苏淮安人。副教授，博士，主要从事数学课程与教学论、教育技术、教师教育研究。E-mail：。
一、引 言
数学理解型教学是一种以理解为取向的课堂教学形态，旨在避免数学教学中机械学习的倾向，促进以思维参与为核心的理解性学习。现代技术，特别是计算机、计算器等数字技术在数学教育中扮演的作用日益凸显。然而，在课堂实践中，我们经常注意到，当教师运用计算机多媒体技术开展教学时，学生却还在使用纸、笔等传统工具从事数学活动。这种技术应用的不平衡状况表明，在深化课堂教学改革的进程中，如何通过技术推进课堂教学、尤其是学习方式的转变仍有待于进一步研究。本文以德州仪器公司开发的TI-Navigator技术为例，探讨基于TI-Navigator技术的课堂环境以及在TI-Navigator课堂环境下数学理解型教学方式的变革。
二、基于TI-Navigator技术的数学课堂环境
TI-Navigator技术是新一代的课堂连接系统，它以学生手持TI-Nspire计算器作为课堂的移动设备，通过TI-Navigator技术，将其接入以计算机为中心的交换平台中。具体来说，基于TI-Navigator技术的数学课堂环境由计算机与课堂展示技术（投影仪、屏幕或互动白板）、TI-Nspire计算器与课堂连接技术（集线器、路由器）组成。其中，计算机和TI-Nspire计算器通过路由器实现无线连接，通过将计算机和TI-Nspire计算器“联网”，TI-Navigator技术创设了一个网络化的课堂环境，为师生开展活动提供了一条新的信息交流通道。屏幕捕捉（Screen Capture）让教师能够通过计算机获取每个学生TI-Nspire计算器上的截屏。借助于投影仪，可以将一个或多个截屏投影到班级公共屏幕或互动白板上。屏幕捕捉使教师能够“看到”学生在做什么，这有助于教师监控学生的活动，支持对课堂干预的理解，促进或引发课堂对话，支持同伴或自我评价等。
快速投票（Quick Poll）让教师能够随时向学生的TI-Nspire计算器发送问题，了解他们对当前内容的理解。投票活动由教师发起和中止，投票一旦结束，对于判断题或选择题，快速投票会自动收集学生的回应、做出分析，并以条形统计图的形式呈现出来。对于开放性问题，快速投票可以以公开或“匿名”的方式将学生给出的各种不同解答展现在班级公共屏幕上。
学习检测（Learning Check）是一个更为复杂的评价工具，主要用于诊断性评价和形成性评价。与快速投票不同，学习检测能向学生的TI-Nspire计算器发送包含多个问题、多种题型的学习检测单。教师利用TI-Navigator导航软件收集学生的解答并保存在计算机的课堂文件夹中。借助于课堂分析（Class Analysis）软件可以对学生的回应做出详细分析，并针对不同的题型和答案的正误采取不同的呈现形式。
活动中心（Activity Center）类似于黑板，其中包含一个平面直角坐标系。学生可以通过TI-Nspire计算器在其中插入点、线等数学对象。而且，不同学生插入的数学对象会以不同的颜色标示出来（如图1所示）。另外，教师也可以将因特网上的图像下载到活动中心用于数学建模。活动中心主要用于发展学生的概念性理解。
需要指出的是，TI-Navigator课堂网络环境仅支持学生手持TI-Nspire计算器与中心计算机发生信息交换，它不具有一般网络“比邻交换”的特征，也不支持邮件发送、网页浏览等。但是，TI-Navigator课堂网络环境增强了教与学的联系和制约，为教师组织课堂活动提供了一个支持性的平台。
三、TI-Navigator课堂网络环境下
数学理解型教学
（一）以技术作为工具中介
“工具中介”是描述活动中主体与客体交互作用方式的一种视角。活动理论指出，任何活动都涉及人工制品，工具是主体作用于客体的中介。在中介活动中，主体与中介工具之间存在着不可避免的张力，它们相互作用，行动受主体与中介工具相互作用的制约。根据“工具中介”观，中介工具不仅影响活动的性质，当工具被内化后还影响人的心理发展，对特定文化的工具使用形成了人们活动和思维的方式。在数学教育领域，“工具中介”观表明，数学教学不仅应关注心智表征，而且应关注数学活动中使用的工具、工具的性质及其对数学认知发展的影响。
在TI-Navigator课堂网络环境下，数学理解型教学是以技术作为工具中介的。计算机、TI-Nspire计算器是师生及其与教学内容交互作用的中介工具。作为中介工具，计算机、TI-Nspire计算器在数学活动中不再是可有可无的，它们是教师的教、学生的学和问题解决中必备的工具。首先，TI-Nspire计算器作为课堂网络的移动端，是学生参与数学活动的认知工具。作为认知工具，TI-Nspire计算器能够满足学生学习活动中的大部分认知需求。计算机代数系统具有数值和符号计算能力，动态几何能够处理几何图形的结构，绘图窗口具有动态地处理函数变换的能力，数据统计分析具有收集、分析数据并提供根据数据做出推理、预测的能力，等等。而且，TI-Nspire计算器快速且准确的常规性操作和运算能够减少学生的认知负荷，使他们有更多的时间集中于概念性理解和策略加工。其次，计算机作为课堂网络的中心，是课堂教学的组织工具。作为教学组织工具，计算机通过创建建构主义学习环境支持学生的思维和行动。例如，当学生存在认知负荷时，计算机能够改变当前的任务重组学生的思维；当学生解决问题时，计算机可以在其最近发展区提供模型、高级思维的机会和对元认知的引导。计算机亦能使学生用具体方法对其思维进行表征，并使他们的推理过程可视化和得到验证。另外，计算机还提供了共享的信息和知识建构工具，帮助学生合作建构社会协商的知识。研究表明，计算机和TI-Nspire计算器作为中介工具能够激发学生的思维参与、增强和拓展认知能力、提高学生的学习机会，也有助于教师把技能的培养与一般化的数学理解结合起来。[1]
计算机和TI-Nspire计算器作为中介工具改变了数学课堂活动的方式。教学开始前，每个学生都需要利用TI-Nspire计算器在计算机上注册“课堂身份”。“课堂身份”是教师管理学生活动的窗口。学生“登录”课堂后，就可以接受教师的教学指令，参与课堂活动。教学开始后，教师通过“课堂身份”向学生TI-Nspire计算器发送学习任务，学生在TI-Nspire计算器上接受任务并作答。教师若想了解学生的活动情况，他不必在课堂来回走动，只需要打开计算机上的屏幕捕捉就可以看到学生的学习进展。当教师发现学生存在思维障碍时，可以通过计算机向特定的学生发送一个临时TI-Nspire文档以引导其思维。对于学习活动的结果，屏幕捕捉亦能够快速收集并保存在计算机的课堂文件夹中。这种“在线”活动方式为教师提供了进行差异教学和个别指导的可能性，使得所有学生能在不同水平上获得成功。而且，这种“在线”活动方式改变了课堂交流“人―人”、“一对一”模式，形成“人―机―人”、“一对多”模式，促进了课堂交流的参与性和平等性。
（二）通过多元表征促进概念性理解
数学学习活动离不开表征。在理解数学概念和关系时，在交流数学思想、推理及理解自己和他人的观点时，在通过建模把数学应用到现实问题情境中时，表征都是一个极为关键的因素。在这里，术语“表征”既指过程又指结果。作为过程，表征是指用某种形式表达数学概念或关系的行为；作为结果，表征指形式本身，是行为的概念性组织或结构。研究表明，表征数学知识的方式，对于学生如何理解和应用这些知识来说是至关重要的。[2]不同的表征通常说明一个复杂概念或关系的不同方面，多元表征有助于发展学生对抽象的数学概念、关系和问题解决的深刻理解。
在TI-Navigator课堂网络环境下，作为主要的数学认知工具，TI-Nspire计算器提供了列表、代数表示和几何图形或图像等三种数学中最基本的表征方式。学生可以在TI-Nspire计算器上运用这些表征组织思维活动，例如，对几何图形进行翻转、倒置、拉伸变换；进行代数表达式的变形和运算；用电子表单探讨复杂的数据；或者同时用列表、方程和图像考察函数的性质。不仅如此，TI-Nspire计算器较大的显示屏还支持在同一屏幕创建列表、公式和图像等三种表征方式，并且提供三种表征方式之间的动态联结与转换，使学生将注意力集中于不同表征之间的关系上，或者考察一种特定表征的变化是如何同时影响其他表征改变的。例如，为了研究一次函数中参数与的值对函数性质的影响，学生通过操作TI-Nspire计算器改变解析式中参数或的值，观察列表和图像的变化情况。如增加或减小之值，则同时可以看到列表中序数对值相应增加或减小，图像变得陡峭或平缓，以及与之相联系的线性表达式。随着赋值的改变，学生就能观察到存在于参数与序数对及图像之间的变化关系。上述事例表明，TI-Nspire计算器的动态联结功能提供了不同表征之间的互动性反馈，使学生能够获得在没有技术辅助下难以观察到的探索问题的情境。从数学理解的角度看，表征是思维的材料，不同的表征实质上是从不同的思维层次上来表达物化的数学概念或内蕴化的活动经验，使学生能够对表征所代表的意义进行思维操作。多元表征联结不仅能增强学生的概念性理解，还能帮助学生克服任何单一表征无法呈现出来的数学概念的重要特征，特别是动态方面的特征。事实上，通过TI-Nspire计算器的多元表征联结功能，学生能够获得数学概念在不同表征下的具体意义，观察到在很不相同的情境中的数学现象有着共同的结构，或者从多种角度为现实世界和数学中的现象建立模型并检验结果。
与纸、笔等工具相比，计算机和TI-Nspire计算器改变了用通用的传统表征所能做的事，也拓展了他们能用的表征方式。当学生学习使用这些全新的、多功能的工具时，他们会认识到用现代科技产生的表征与通用表征的差异以及对数学活动所造成的影响，为学生提供重新思考传统表征、设计和评价新的表征的机会，思考符号和表征是如何帮助他们组织思维活动以及如何变得有意义的。
（三）课堂互动作为一种认知方式
社会建构主义认为，学习发生在社会情境中，并且依赖于共同体及其成员的互动。课堂中的互动是师生、生生之间围绕教学内容所进行的对话、讨论、交流与协商，是“在学习集体的人际关系之中产生认知活动的竞技状态”[3]。作为一种认知方式，课堂互动是对数学知识社会建构属性的确认，强调集体思维与自主探究在数学活动中是同等重要的。从理解性学习的角度看，课堂互动能够激发学生积极地思考，反思、精炼和修正数学观点，也有助于理解观点的意义，使之记忆深刻并公开化。
在教学过程中，课堂互动涉及个人观点的公开和表达，以信息在不同认知主体之间的充分交换和共享为特征。课堂中的互动能否有效开展，既受到课堂环境的限制，也取决于交互媒介的选择和运用。在TI-Navigator课堂网络环境下，课堂互动是在计算机和TI-Nspire计算器的支持下进行的。计算机和TI-Nspire计算器作为交流工具为学生提供了课堂互动引导机制，使他们有机会参与到分享观点、澄清理解的课堂活动中。例如，当学生在TI-Nspire计算器上从事数学活动时，教师借助屏幕捕捉能够考察他们探索数学的过程和结果，可以将通常难以观察到的数学思维方法呈现在班级公共屏幕上，引导学生在分享不同观点的同时产生认知冲突，激励学生主动参与讨论、对话，表达自己的观点，为观点提供辩护。在此过程中，TI-Nspire计算器和计算机还能帮助学生组织思维活动，产生和提供新的观点或论据，使课堂互动持续、深入地发展下去。另外，教师借助屏幕捕捉能够采取“隐藏”学生姓名的方式呈现他们的数学活动结果，从而将所有的学生置于同等的场域，使课堂互动聚焦于观点本身而不是“谁的观点”。这种匿名的方式创造了一个相对安全的环境，让那些缺乏自信、不愿表达自己观点的学生愿意加入到互动行列中，也有助于学生公开自己独特的想法甚至不同的见解。事实上，作为一种认知方式，课堂互动不是少数人的专利，而是全体学生共同参与的活动。每个学生作为个体通过参与课堂互动促进学习共同体的建构，课堂互动则促成个人知识的社会化并确认其作为共同体中一员的身份。TI-Navigator课堂网络环境为学生“合法的边缘性参与”提供了一个课堂互动平台，支持学生在共同体中的对话与协作，共享知识与观点，使学习成为教师与学生共享的责任。
作为一种物联化的活动，课堂互动的方式不是单一的，而是多元的。也就是说，课堂中除了由计算机和TI-Nspire计算器支持的互动之外，教师和学生还广泛采取书面表达、口头语言、动作手势等方式表达和交流他们的观点。课堂互动不仅指向内容，也指向个人。多元化模式是TI-Navigator技术环境下课堂互动的典型特征。[4]在多元化的互动模式中，教师和学生将多元表征和脚手架等认知策略介入到学习活动中，更多的是介入到知识建构过程中。同时，多元化互动模式扩展了语义学资源的多元性，学生可以采用多种方式做和表达数学。
（四）评价成为课堂活动的一部分
现代教学论认为，评价有两种基本取向：“为”学生实施的评价是教学告一段落的一次测验，考查学生在特定条件下的表现；“向”学生实施的评价与教学是交互的活动，用于引导和提高学生的学习。从这个角度看，“向”学生实施的评价是植根于教学过程中的形成性评价。根据Black和Wiliam的观点，形成性评价是指由教师或学生从事的所有活动提供的信息作为反馈，调整教与学的活动。[5]在课堂实践中，形成性评价有两种基本类型。其一，计划的形成性评价基于特定的教学内容或目标，是教师课前准备好的测验，评价学生达到教学目标的程度或对重要内容的理解。其二，互动的形成性评价基于学生在课堂活动中的行为和表现，采取提问、课堂作业、自我评价和同伴评价等方式，评价学生的概念性理解并为其提供如何改进的建设性反馈。研究表明，形成性评价不仅能够提高学生的学习成就，还能为教师调整教学提供决策基础。
TI-Navigator课堂网络环境为形成性评价提供了必要的技术支持。在技术层面上，评价涉及收集学习活动的数据、对数据做出解释并提供有效的反馈。然而，在大班教学和任务繁重的情况下，如果没有技术的支持，收集和计算学生的回应将是一件非常耗时的工作，也不可能给每个学生提供具体的反馈。TI-Navigator技术通过改变信息交换方式对教与学行为所施加的影响支持形成性评价。具体来说，第一，TI-Navigator技术使得以TI-Nspire电子文档取代纸质文档作为信息载体成为可能。TI-Nspire文档是TI-Nspire计算器产生的、记录学习活动结果的页面。一个TI-Nspire文档通常包含若干页，同一页中可以插入图像、公式、列表等不同的表征形式。借助于TI-Navigator技术，教师能够快速发送和收集TI-Nspire文档，提高评价活动中数据收集和反馈的速度和频率。第二，TI-Navigator技术改进了反馈的方式。如可以将评价结果投影在班级公共屏幕上，让学生通过对照和比较找出取得的成功或存在的不足；也可以将其发送到学生的TI-Nspire计算器上，帮助学生明确学习目标、承担学习责任。事实上，形成性评价基于如下的假设：在学习过程中，尽早地给学生提供建设性反馈能够提高学生的成绩。TI-Navigator技术为学生提供了通过接受反馈持续地改进理解和建构知识的机会。第三，TI-Navigator技术还通过配备专门的工具来实施形成性评价。例如，学习检测主要用于收集和解释学生达到教学目标的程度，这加强了计划的形成性评价。快速投票和屏幕捕捉用于收集和解释学生对当前内容的概念性理解，这促进和改善了互动的形成性评价。而且，屏幕捕捉使教师能够获得学生在数学探索早期阶段的思考，从而可以根据最近发展区水平临时编拟测验题，为学生提供一种程序上或元认知的“脚手架”，帮助学生改善思考和解决问题的方式。
从评价与教学的关系看，形成性评价的特征是互动性，它通过提问和反馈使教师获得对学生理解的直接观察。当提问和反馈经常发生，并且能够促使学生反思他们所学习的内容以及是如何学习的，评价数据就能为教师提供教学改进的信息。根据维果茨基的最近发展区理论，互动的形成性评价不仅让教师能够获得关于学生理解是如何展开的有效洞察，而且使教师将提供的帮助作为评价的一部分。此外，互动的形成性评价创造了改善教学的目标时机，为教师设计脚手架提供了具体的参照。[6]
四、结 语
随着现代科技在数学教育领域的应用和发展，计算机与计算器、智能手机、iPad等各种移动工具极大地改变了课堂活动的生态图景，为教学理念和实践提供了必要的技术支持，成为推动课堂教学变革中最为活跃的一个因素。作为设计课堂环境不可或缺的要素之一，现代技术不仅能对传统的教学方式产生深刻的影响，还能赋予潜在的心理学假设和教学理论以力量。面对技术丰富的课堂环境，一方面，我们需要建立一种新的理论框架，从制度和文化的维度重新审视教与学的过程；另一方面，我们也必须关注技术与人的行为、活动、认知方式之间的关系，深化对人与技术的互动性的认识。
[参考文献]
[1] [2] 全美数学教师协会著.美国学校数学教育的原则和标准[S].蔡金法等译.北京：人民教育出版社，2004：27，65.
[3] 钟启泉.“课堂互动”研究：意蕴与课题[J].教育研究，2010，（10）：73～80.
[4] Ferdinando，A&Ornella，R..Multimodality in multi-representational environments[J].ZDM Mathematics Education，2010，（42）：715～731.
[5] Black，P.& Wiliam，D..Assessment and classroom learning[J].Assessment in Education，1998，（1）：57～68.
[6] Shepard，L.A..The role of assessment in a learning culture[J].EducationalResearcher，2000，（29）：4～14.