借容斥原理解排列组合和概率题

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容斥原理是解决有限集合计数问题的重要原理之一． 事实上我们在利用加法原理解题时，就是先将问题分划成若干个两两互不相交的子集（分类讨论），再求各个集合中元素的个数． 但是在许多问题中，将其划分为数个两两互不相交的集合并非易事，而容斥原理在一定程度上解决了这个问题． 熟练地掌握容斥原理的运用对解决高中数学中一些较难的题目有一定的帮助．

下面我们给出容斥原理的两种等价形式，即以下的定理1和定理2，其中

表示有限集合A中的元素个数．

当k=3时，A∪B∪C=A+B+C－A∩B－A∩C－B∩C+A∩B∩C．

定理2设A1，A2，A3，…，Ak是集合S的k个子集合，则

由这两个定理，我们可以解决一些需要讨论多次的题目．

用容斥原理来解题时，关键在于能否用集合语言或符号语言将所要解决的问题表示出来．

一、在排列中的应用

先来看一道老题.

某市的4个化工厂，为了降低成本，适应市场变化，合并成一个化工集团公司，公司董事会由7名董事组成.

产生的7名董事全部分到各工厂进行生产管理，每厂至少一名，有几种分法？

解析：方法一 ―― 分情况讨论

最后的分配方式有三种可能，（1）一个工厂4个，其余各1个；（2）一个工厂3个，一个工厂2个，其余各一个；（3）一工厂1个，其余各2个．

可得最后结果为CCA+CCCCA+CCCCC=8 400种．

方法二 ―― 容斥原理

将这四个化工厂命名为A1，A2，A3，A4，设B1表示工厂A1无董事派入，B2表示工厂A2无董事派入，B3表示工厂）=47－4・37+C・27－C・17+C・0=8 400．

由此可知，容斥原理主要用于多个独立条件共同作用的计数问题中．在高中数学中最常见的就是有限制的排列问题，下面，笔者列举数例．

例19个人站成三排，第一排2人，第二排3人，第三排4人，其中甲不在第一排左端，乙不在第三排的右端，则有几种排法？（禁位排列）

解析：设A表示甲站在第一排左端，B表示乙站在第三排右端，则有A=B=A，A∩B=A，依题意有，满足条件的排法总=A－2A+A.

与容斥原理相同的思路，我们还可以得到下面几个关系式．

上述公式可以用韦恩图进行验证．

例29个人站成三排，第一排2人，第二排3人，第三排4人，其中甲不在第一排左端，乙不在第三排的右端，丙必须站在第三排，问此时有几种排法？

解析：此题用分类讨论的方法可以得到解决，但灵活性较强． 同时此题也可以用上面所给出的公式直接求解．

方法一 ―― 分类讨论

对丙的情况进行讨论，（1）当丙不在第三排右端时，排法先排丙有A种排法，再排剩下8人，按容斥原理（同例1）可得剩下8人的排法总数为A－2A+A，则这种情况的排法总数为A・（A-2A+A）=92 880；（2）当丙排在第三排右端时，分两种情况进行讨论：①当乙排在第一排左端时，有A=5 040种排法，②当乙不在第一排左端时有A・A・A=30 240种排法． 综上，满足条件的排法有92 880+5 040+30 240=128 160种排法．

方法二 ―― 直接套用公式

设A1表示丙在第三排；A2表示甲在第一排左端；A3表示乙在第三排右端． 依题意有

二、在古典概型中的应用

因为古典概型和排列组合是一脉相承的，所以容斥原理也可以应用于概率问题． 对于独立事件来说有如下公式．

设A，B是两相互独立的事件，P（A），P（B）表示A，B发生的概率，A+B表示A或B发生，A・B表示A和B同时发生，则有

P（A+B）=P（A）+P（B）－P（A）・P（B）.

对其进行推广，当A1，A2，A3，…，An为n个相互独立的事件，则有

P（A1＋A2＋A3＋…＋An）=P（Ai）－P（Ai）P（Aj）+P（Ai）・ P（Aj）P（At）+…+（-1）n-1P（A1）P（A2）P（A3）・…・P（An），由数学归纳法可得上述结论．

和计数问题的思路一致，先将满足条件的事件写出，再套用公式即可解答概率问题．

例3甲、乙、丙三人各进行一次射击，如果三人击中目标的概率都是0.6，求

（Ⅰ）三人都击中目标的概率；

（Ⅱ）至少有一人击中目标的概率．

解析：（Ⅰ）P（A・B・C)=P（A）・P（B）・P（C）=0.63=0.216；

（Ⅱ）P（A+B+C）=P（A）+P（B）+P（C）－P（A）P（B）－P（B）P（C）－P（A）P（C）+P（A）P（B）P（C）=0.6×3－3×0.62+0.63=0.936．

例4如图1所示，电路中五个方框均为保险匣，A，B，C，D，E各个保险丝被烧断的概率分别为，，，，，且通电后保险丝是否烧断是相互独立的，则通电后不断路的概率为多少？

[A][B][C][D][E]

图1

解析：若我们设A′，B′，C′，D′，E′分别表示A，B，C，D，E不被烧断这一事件． 依题意得，P（A′）=，P（B′)=，P（C′）=，P（D′）=，P（E′）=，通电后不断路这一事件可写成（A′・B′＋C′）・（D′＋E′），由A′，B′，C′，D′，E′相互独立，则所求概率为

P［（A′・B′＋C′）・（D′＋E′）］

＝P（A′・B′＋C′）・P（D′＋E′）

=［P（A′・B′）+P（C′）－P（A′・B′・C′）］［P（D′）+P（E′）－P（D′・E′）］

=

对于可以用容斥原理及相关推论解决的题来说，先准确地写出事件，再套用公式可以避免解题中过多的讨论．

参考文献

（1）杨振生著. 《组合数学及其算法》. 中国科学技术大学出版社，1997年11月.

（2）叶军著. 《数学奥林匹克教程》. 湖南师范大学出版社，2003年6月.