抽象却又不“抽象”

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在小学，关于分数意义的教学一般会分成两个阶段：第一次是三年级的“分数的初步认识”，第二次是五年级的“分数的意义”。这两个阶段既不是相对孤立的，也不是循序渐进的，而应该是相互渗透和相互补充的。作为第一阶段的“分数的初步认识”，它承担了引领学生顺利进入分数这个“神秘世界”的重任，所以它的意义与地位尤为重要。但是，分数作为一个数，相较于学生原有的对数的感知，几乎有一种颠覆性的认识。它不同于整数范畴里的数，让学生有很实在的数感，分数有时有点让人“抓”不住。那怎样才能让学生既能很清晰地认识分数的意义，又能与具体物体的个数或者说数量联系起来，让抽象的分数变得不那么抽象呢？笔者结合三年级的《分数的初步认识》作了一些小小的尝试。

【教学片段1】简单地求一个数的几分之一的实际问题的教学。

问题1：一盘桃有4个，每个小猴分得这盘桃的，这盘桃的是几个桃？

师：用你自己的方式把这盘桃的是几个表示出来。

（学生独立思考记录的方法，然后小组交流自己的方法，说清理由）

师：谁先来说？

生1：我是用画图的方法。把一盘桃看做一个整体，平均分成4份，取其中的1份，就是1个桃。

师板书：一盘桃的 1个

（平均分成4份，取1份）

生2：我是用算式表示的，4÷4=1（个）。

师：为什么可以这样列式？

生3：因为这里是把4个桃平均分成4份，其中的1份就是1个。

师：哦，也就是说，这样的分法，也符合除法的意义，是吗？

生：是。

师补充板书：

师：看来，这盘桃的就是1个，而这1个桃就是这盘桃的。

问题2：这盘桃的是几个桃？

师：用你喜欢的方法表示这个问题。

（生独立完成）

集体交流后，完成板书：

比较：

师：同学们看，（指第一幅图）这里的涂色部分的1份，有几种表示方法？

生：它既代表一盘桃的，又可以说成是1个桃。

师：对呀，不管是这盘桃的，还是1个桃，都是表示这其中的1份。

师：再看第二幅图，这里的1份，又有几种表示方法？

生：既可以说成是这盘桃的，又表示2个。

师：看来，不管是哪一盘桃子中的1份，既可以表示成几分之一，也可以数出具体的数量。但同学们看，当我们用分数表示的时候，应该关注哪些信息？而用具体数值表示的时候，又应该关注什么？小组里交流交流。

（学生讨论后，集体交流）

生：用分数表示的时候，主要看把这个整体平均分成了几份，取几份；而用具体数值表示的时候，要关注这个整体里有几个物体，也就是分多少个物体，还要关注平均分成了几份。

师：所以说啊，有时这个分数还是能让我们“看”得见的，因为总会有具体的数量与它对应起来。

……

“分数的认识”一直是学生学习上的一个难点，或者说一个节点，原因在于它比整数来得抽象，特别是在学生刚接触分数的这个阶段。虽然它是一个数，但有时却感觉看不见摸不着。不过，虽然如此，分数却还是和具体的物体有一定的关系，因为每次出现这个分数的时候，它总是会在具体的情境中出现相关的分数，也就是它还是具有一定意义的。鉴于这样的认识，在上述教学片段中，我试图通过这样的对比，让学生感受到分数虽然抽象，但还是能让我们感知它的存在，因为它能找到相应的量。这样的分数，学生也能更加自然地接受，从而主动将分数纳入数的大背景中去理解。同时，这里也初步沟通了分数和除法的关系，既帮助学生形成了一个知识体系，也便于他们更好地理解分数，更为五年级时进一步认识分数的意义奠定了基础。

【教学片段2】用“十分之几米、十分之几元”等表示一个具体的数量

1.出示如下的图：

教师在线段的左端写了“0”，然后提问：接下来可以填什么？

生：1、2、3、……

（结合学生回答依次板书）

师：现在我来改一改。

师：这时，其中的一份还可以用1表示吗？

生：不能。

师：为什么？

生：因为这里不满“1”了。

师：哦，那这1份可以怎么表示呢？3份、7份呢？

通过交流，使学生明确：不满1了，10份中的1份可以用表示，3份可以用表示，7份可以用表示。

师：如果这是一条1米长的绳子，那么这里的1份就是……

生：1分米。

师：还可以是……

生：米。

师：这么说来，1米的就是米，也就是1分米，1分米还可以用米表示。这两个一样吗？同桌交流交流。

（学生交流后，明确：这里的表示，把1米平均分成10份，其中的1份就是1米的，而这1份对应的长度就是米，也就是1分米。）

接着，引导学生由这样一条线段进一步进行联想：可以是1分米、1米、1元，等等，再进一步认识到其中的几份还可以是十分之几分米、十分之几元等。

这个内容本身是教材上的一个练习题，直接在一根表示1米长的线段上填写用“米”做单位，但又不满1米的长度。在学生原有的经验中，不满1米的长度就不能再用“米”做单位，但现在偏偏要用“米”这个单位，猜想在学生的潜意识里肯定很纠结，不过在学生课前尝试填写的时候却是一点问题都没有。我也感到很奇怪，是他们真明白了吗？于是，我问了几个学生，他们是这样回答的：“这里是把1米平均分成了10份，其中的1份不就是吗？”明白了，他们关注的还是分数作为一个关系存在的这样一个身份，根本没有意识到这儿表示的是一个实际长度。如果将这里的1米改为2米，平均分成10份后，求其中的1份，他们肯定还是会填米。找到了原因，我觉得还是从1米的入手，但同时要让学生关注到这1份所对应的实际长度，明确1分米还可以用米来表示，让米在学生头脑中留下1分米的长度。然后再联系其他几个存在十进制关系的单位进行迁移，比如厘米与分米、角与元等之间的关系，让学生再次感知分数不仅仅表示部分与整体之间的一个关系，它还可以表示一个具体的数量。

数学本身是抽象的，所以它常常需要大量的事实材料去支撑，分数的认识尤其如此。所以在教学中，我们应给学生的学习提供既丰富又有一定意义的素材，从而使分数的抽象与具体和谐共存，让本来抽象的分数变得不“抽象”。