要着力提高教师的教材组织能力

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当前，在数学课堂教学中存在着诸多影响教学效果的现象.在一些日常课、公开课、评优课中，同样的教材却因施教者的不同而其教学效果大相径庭，优秀者经深思熟虑听后耐人寻味，平庸者虽殚精竭虑却让人匪夷所思.一些年轻教师迷信教材到了膜拜的地步，照本宣科不敢越雷池一步；一些年长者紧抱陈腐教案，教了一遍又一遍，用了一年又一年，成了十足的私塾先生；稍有成熟者，或滥用教辅，或迷恋学案，却将教材远远抛在一边.教师对教材的组织与处理能力成为了左右其教学效果的关键因素．

教材作为教学内容的主要表现形式，应该成为教师进行教学的主要依据.然而，教材是静态的，如何将其灵活运用到实际教学情境中，需教者进行必要的加工与处理，使之更加适合当下学生和当前教学.这就要求教师认真吃透教材并重新创作，变“死”教材为“活”知识，促进学生的有效占有，赢得教学工作的主动．

下文结合一些教学实例（选自苏教版教材），谈以下几个问题：

1 教材重组的几个原则

1.1 强调系统性，实现局部与整体的统一

所谓整体，即数学学科的课程目标和教学大纲相对完整的知识体系或某一分支.作为局部的某一章节或某一具体教学课时，必须立足全局，从教学大纲和教材体系出发，明确该讲什么，不讲什么；重讲什么，略讲什么；培养哪些能力又如何实施，真正做到以整体指导局部，以局部体现整体．

1.2 明确目标性，实现知能与情意的统一

数学新课程确立了知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观三位一体的课程教学目标，这是发展性课堂教学的核心内涵，也是新课程推进素质教育的集中体现.要实现这种价值追求，教师必须加强对新教材的研究，努力挖掘深藏在数学知识背后鲜活的生成过程，强调学生对过程的“经历”和“体验”，并在体验与感悟中激活学习动机，激励学习兴趣，激发学习热情，始终保持乐观的生活态度、求实的科学态度及宽容的人生态度，从而促进人与自然的和谐发展．

1.3 注重针对性，实现教法与学法的统一

一切从学生实际出发，注重提高教学的针对性，是保证课堂教学高效的前提.要提高教学的针对性，真正做到备学生之所需，教学生之所要，必须加强对教材的学习、研究，精心组织好每一节课的教学资源，加强教法研究，注重学法指导，帮助学生逐渐掌握学习方法，养成学习习惯，提高学习能力．

1.3.1 坚持先学后教——当学生已经能够阅读和思考教材时，应先让他们自己去阅读与思考.

从教学促进学生发展的角度看，“先学”立足于解决现有发展区问题，“后教”旨在解决最近发展区问题.只有建立在学生独立学习基础上的课堂教学，才有可能走在发展的前面，并推动发展，从而不断地创造最近发展区，并把最近发展区转化为现有发展区.这是有效教学、优质教学的心理学机制．

1.3.2 坚持以教导学——在学生处于依靠教师的学习阶段，必须边教边学，以教导学.

但教的着力点是为了“不教”，学的着力点在于自主、独立学习，教师要致力于教学生学会学习.要善于揭示规律，指导科学思维方法和学习方法；要注重学习过程本身的教学，使之成为学生积极主动展开智力活动的过程；要坚持教法改革与学法指导同步进行，在研究学法和学情的基础上提高教法的针对性和有效性，在探索科学教法的过程中引导学生掌握适合自身特点的学习方法．

1.3.3 坚持温故知新——新知识的教学必须基于学生的原有经验，才能实现学生的有意义学习.

没有旧知作为依托的新知学习只能是机械学习.从大的角度讲，教学必须从学生实际出发，从学生原有知识出发，循序渐进，这是大面积提高教学质量、防止学生学业失败的根本举措.从小的方面讲，每节课的教学必须在对教材的整体把握中帮助和引导学生找准新旧知识的内在联系，并通过旧知学习新知.正如苏霍姆林斯基所说的那样，“教给学生能够借助已有的知识去获取新的知识，这是最高的教学技巧之所在.”

2 重组教材的关键能力

2.1 课时分配能力

与教材匹配的教学参考书一般对某章某节的教学课时给出了安排建议，但这些建议往往比较粗略，不可能细化到每节课的教学内容，这就需要教者在把握教材整体的基础上根据实际需要进行细化分割，对主干知识作出必要的补充，有时在教学内容上还需作出次序调整以更好地突出重点，分散难点．

案例1 必修①第2章第一单元《函数的概念与图象》课时安排：

本单元“教学建议”安排约10个课时，主要内容包括：函数的概念与图象、函数的表示方法、函数的简单性质、映射，在课时分配上可作如下细分：

第1课 函数的概念：集合观点下函数的定义，函数三要素，会求简单函数的定义域．

注1 笔者建议将本节中的例4——例6（函数图象问题）移至第3课时教学．

第2课 函数的表示方法——解析法：函数的三种表示方法及其优点，分段函数，掌握

确定函数解析式的常见方法，如待定系数法、换元法、方程法、赋值法等．

注2 解析法是表示函数的最基本方法，建议教学时作必要补充．

第3课 函数的表示方法——列表法与图象法：了解列表法是函数的一种表示方法，能根据表中信息抽象出函数关系，能根据函数解析式描绘函数的图象，能根据题目要求灵活选用函数的表示法，提高解决实际问题的能力．

第4课 函数的单调性⑴：函数单调性的有关概念，简单函数单调性的证明方法．

第5课 函数的单调性⑵：进一步理解函数单调性的概念，了解判断一些简单复合函数单调性的方法，能利用函数单调性解决一些简单问题．

第6课 函数的最值：理解函数最大（小）值的概念及其几何意义，学会求函数最大（小）值的一些常见方法，如单调性法、配方法、换元法、判别式法、图象法等．

注3 结合配方法补充讲解二次函数在给定区间上的最值求法．

第7课 函数的奇偶性：函数奇偶性的概念、图象、性质及其判断．

第8课 函数的性质习题课：通过一些实例，重点弄清函数的单调性与奇偶性间的联系．

注4 函数的单调性与奇偶性是本单元的重点知识，应适当增加教学课时．

第9课 映射：通过实例了解映射的概念及表示方法．

第10课 单元复习：建构知识网络，并对一些重要数学思想方法作必要提炼．

2.2 课题导入能力

古云：“万事开头难”，课题导入的质量如何，直接影响课堂教学的效果.一个好的课题导入一般应具有以下效能：①激发兴趣：精彩的引入能让学生如沫春风，引起对本课乃至本门学科的兴趣，有了兴趣，学生才会注意学习内容，主动探索知识，解决问题；②集中注意：巧妙独特的课题导入在教学一开始就能引起学生的注意，让其指向并维持于教学内容，进而提高教与学的效果；③启迪思维：通过巧妙设疑，能激发学生积极思维，提高思维品质；④调适心理：学生在学习新知识时一般会有畏难情绪，而良好的课题引入常能起到先行组织者的作用，帮助学生建立起新旧知识的联系，达到“温故知新”的效果；⑤营造氛围：充满激情的课题导入能使师生双方快速产生共鸣，进入忘我的心境，这种民主、和谐的心理氛围更利于知识的学习和情感的培养．

案例2 必修④3.1.1《两角和与差的余弦》.

教材对本课题的引入作了如下设计：

由向量的数量积运算法则，可知cos x＋sin x＝（cos x，sin x） ·（1，1）①；

另一方面， （cos x，sin x） ·（1，1）＝

cos2x+sin2x·12+12cos θ＝2cos θ ②，

其中θ为向量（cos x，sin x） 与向量（1，1）的夹角.于是有

cos x＋sin x＝2cos（x－π4） ③.

这是一个有趣的等式，在回答了sin x＋cos x可以化为Asin（ωx＋φ）的同时，它还告诉我们

cos（x－π4）可以用x的三角函数与π4的三角函数来表示.这又启发我们联想到更一般的问题：cos（α－β）能否用α的三角函数与β的三角函数来表示？

有过此段教学经历的老师总觉得如此引入显得十分生硬，至少有以下三点值得思考：

（1）等式①从右往左为向量数量积的运算法则，从左往右学生是否能够意识到？

（2）向量（cos x，sin x） 与向量（1，1）的夹角是x－π4吗？

（3）等式③到底有趣在哪里？

其实，为引入本课，教材已经在前一章习题2.4第15题做了铺垫，因此，本课导入可作如下设计：

问题1：前面我们刚刚学习了向量数量积的有关知识，两个向量的数量积是如何定义的？又如何进行向量数量积的坐标运算？

问题2：设向量a=（cos 75°，

sin 75°），b=（cos 15°，

sin 15°），试分别根据向量数量积的定义和坐标运算法则计算a·b．

问题3：比较上述两次计算结果，你能够得到一个怎样的等式？

问题4：上述等式能否推广到一般情形？

在得到等式cos（α－β）＝cos αcos β＋sin αsin β后，教师揭示本课课题，亮出学习目标，进一步设问：你会证明它吗？引发学生作进一步的探究．

笔者以为，如此引入较好地遵循了学生的认知规律，稍作铺垫即直入课题，显得更加自然流畅.如果一味照本宣科，很难体现课题导入应有的功能．

2.3 知识建构能力

学习是在一定的文化背景下，学生通过自我经验的激活形成对自己知识的一种建构，学习不是学生对知识的简单吸收或者老师向学生传递知识的单向传授，而是一种双向互动的过程.学生的主动建构即是学生对知识的主动吸收，以自己的经验为背景，对所遇到的新问题、新现象、新概念要充分调动自己的知识经验，通过分析、综合、归纳、演绎等得出自己的结论和认识.需要指出的是，强调学生的自主建构并不排斥教师的组织、引领作用，在教学中，教师要通过重组教材结构，丰富学习材料，积极引导学生观察、实验和总结，获得数学概念，促进知识的同化．

促进学生对数学知识的建构，应重点关注以下三个方面：

2.3.1 概念的生成

案例3 必修①2.1.3《函数的奇偶性》教学设计片断：

问题1：“对称”是大自然的一种美，这种“对称美”在数学中也有着大量反映，观察下列两组函数的图象：（1）f（x）=x2，f（x）=|x|，f（x）=x－2；（2）f（x）=x，f（x）=x－1，f（x）=x3.它们有着怎样的共同特征？

问题2：如果函数y＝f（x）的图象关于y轴对称，将此图象沿y轴对折，那么图象上的点（x0，f（x0））与图象上哪一个点重合？

问题3：由此，你能得到怎样的关系式？如何用语言来描述？

问题4：试着给出偶函数的定义．

问题5：类比偶函数的定义，给出奇函数的定义．

问题6：对定义的理解应把握哪些关键词？由此，奇偶函数定义域有何特点？

设计说明 本设计对教材做了如下处理：①奇偶函数的实例由教材中的1个增加到3个，利于学生通过观察归纳出它们各自的共同特征；②教材通过几对特殊函数值的关系归纳出奇偶函数的定义关系式，遵循了由具体到抽象、由特殊到一般的认知规律.本设计中，教者注意到学生在初中阶段已经学习了平面直角坐标系的初步知识，知道关于y轴及原点对称的两个点的坐标之间的关系，直接据此得出定义恒等式，实现了定义的快速建构．

2.3.2 定理的发现

案例4 必修④2.2.3《向量共线定理》教学设计片断：

问题1：上节课我们学习了向量的数乘，知道：实数λ与向量a的积，其结果λa是一

个向量，它的长度和方向是如何规定的？

问题2：由上述规定，一般地，设λ是一个实数，记b=λa（a≠0），则向量a、b有着怎样的位置关系？

问题3：反之，若向量a（a≠0）、b共线，是否一定存在一个实数λ，使b=λa成立？

我们不妨由特例入手，对几个具体问题进行探究：

①已知|a|=2，|b|=4，若向量a、b方向相同，则b=_____a，即λ=_____；若向量a、b方向相反，则b=_____a，即λ=_____．

② 已知|a|=2，|b|=3，若向量a、b方向相同，则b=_____a，即λ=_____；若向量a、b方向相反，则b=_____a，即λ=_____．

③ 一般地，若向量a（a≠0）、b共线，则当b与a同方向时，λ=_____；当b与 a反方向时，λ=_____．

特别地，若b=0，则λ=_____．

问题4：在问题3中，这样的实数λ是否唯一？如何给出严格证明？

问题5：在定理中，由于规定了a≠0，因而实数λ“存在”且“唯一”，如果 a=0，将会出现怎样的结果？

问题6：定理包含了几层含义？如果要判断或证明两个向量a（a≠0）、b共线，你会怎么做？如果已知向量a（a≠0）、b共线，你又应该怎么做？

设计说明 本设计从学生已有经验出发（向量数乘的定义），遵循学生的认知规律（特例探究），突出了向量共线定理的发现过程；通过对定理中为何要规定a≠0、实数λ的存在性与唯一性的分析与研究，加深了对定理的理解．

2.3.3 公式的诞生

案例5 仍以《两角和与差的余弦》教学设计为例.

如前所述，由特例入手通过“算两次”的数学方法，首先发现两角差的余弦可以用单角的正弦、余弦值来表示，在此基础上猜想出一般结论，再给出严格证明.而公式证明的关键是两个向量夹角的确定，为突破这一难点，可进一步作如下设计：

问题：对于两个向量a=（cos α，

sin α），b=（cos β，

sin β），如何表示出它们的夹角？

教师：设两向量的夹角为θ，则其取值范围是什么？

学生：两个向量夹角的取值范围是［0，π］．

教师：也就是说，若α－β∈［0，π］，则θ＝α－β.如果α－β∈［－π，0］呢？

学生：这时，θ＝β－α．

教师：如果α－β［－π，π］怎么办？

学生：由三角知识，在［－π，π］内一定能够找到一个与α－β终边相同的角，即存在整数k，使得θ＝2kπ±（α－β）．

教师：至此，你想跟同学们说些什么以帮助大家消除疑惑？

学生：两个向量的夹角未必正好等于α－β，但由诱导公式，它们的余弦值相等.所以

cos（α－β）＝cos αcos β＋sin αsin β．

斯托利亚尔认为：“数学教学是思维活动的教学”，必须把数学教学中的思维活动作为教育研究的对象，充分暴露数学思维的过程.作为教材，因受篇幅限制，知识生成过程常被“隐藏”了，教师的工作（或者说是责任）就是要善于对教材进行再加工，让教材更丰盈、更鲜活、更灵动，通过对教材创造性的组织与设计，真正使学生经历问题的提出过程，感受知识地形成过程，暴露解题的思维过程，体验成功的喜悦过程，从而达到知能与情意的和谐统一．

2.4 例题变式能力

在数学教学中，教师要有意识地引导学生研究课本中的一些典型问题，由一个基本问题出发，运用类比、联想、特殊化和一般化的思维方法，探索问题的发展变化，将教学过程真正转变为学生的思维过程，帮助学生发现问题本质，领悟数学方法，生成学习智慧．

2.4.1 运用变式教学，促进思维广阔

思维的广阔性是发散思维的重要特征.应试教育下的学生只知其一，不知其二，稍有变化，就不知所云.加强一题多变训练，是帮助学生克服思维狭窄、促进思维广阔的有效办法.教学中，要针对教学的重点难点，精心设计有层次、有坡度、要求明确、题型多变的练习题，让学生通过训练不断探索解题通道，渐入广阔思维的佳境.

案例6 必修④p.14例1：已知角α的终边过点P（2，－3），求α的正弦、余弦、正切值．

解答本例只需首先求出点P与原点的距离r，再利用定义求出各比值.为深化对三角函数定义的理解，可设计如下变题：

问题1：若角α的终边为射线3x＋2y＝0（x≥0），求α的正弦、余弦和正切值．

问题2：若角α的终边过点P（2a，－3a）（a≠0），求α的正弦、余弦和正切值．

问题3：若角α的终边经过点P（x，－3），且

cos α＝21313，求α的正弦、正切值.

问题1要在所给射线上恰当取点，再行运算；问题2增加了分类讨论；而问题3则需逆向思考，先由余弦定义确定点的坐标，再求出其它函数值.通过以上变式练习，加深了对概念的理解，促进了思维的严谨，训练了逆向思维能力，使学生的思维活动更加灵活、变通．

2.4.2 运用变式教学，促进思维深刻

通过变换问题条件和结论，改变叙述方式，正逆变换等，在一定程度上可克服思维惰性，帮助学生学会透过现象认清本质，从片面走向全面，从孤立走向关联，从肤浅走向深刻.

案例7 必修⑤p.88例2改编：已知x>0，则函数y=x+1x有最 值为________．

利用基本不等式求极值是高中数学重要知识点之一，但学生在应用时，容易疏忽定理使用的条件，盲目套用致解题失误.可设计以下三个变题：

问题1：已知x

问题2：已知x>1，则函数y=x+2x-1有最 值为_______．

问题3：设x∈0，

π2，则函数y=sin x+2sin x的最小值是_______．

学生在解答以上问题后，组织小组合作学习，交流学习成果，进行正误辨析，以加深对定理应用条件“一正二定三等”的理解，促进了思维深刻，为定理的正确运用提供了保证．

2.4.3 运用变式教学，促进思维创新

在例题教学中，教师要善于通过变式教学帮助学生克服思维定势，在变中求进，在进中求通，从而培养学生的创新能力.其中，将形似质异的问题编成题组进行有针对性的训练，是提高学生创新能力的有效途径，这在高三复习阶段尤为重要．

例如，为帮助学生系统复习椭圆的两个定义、标准方程及其几何性质，可设计下列题组：

案例8 选修2-1p.64复习题5改编：已知F1、F2分别是椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左右焦点，右准线l，离心率e. 试思考解答以下问题：

（1）若椭圆上存在一点P，使得PF1PF2，则e的范围是_______．

（2）若椭圆上存在一点P，使得PF1＝ePF2，则e的范围是_______．

（3）若在l上存在一点P，使得线段PF1的中垂线经过F2，则e的范围是_______．

（4）若P为椭圆上的一点，线段PF2与圆x2＋y2＝b2相切于中点Q，则e＝_______．

（5）过F且斜率为k的直线交椭圆于A、B两点，且AF=3FB，若e＝32，则k＝_______．

在变式教学中应坚持以学生学习为主、教师点拨为辅，积极营造民主、平等、自由的学习氛围，鼓励学生勇于提出质疑、各抒己见，努力培养学生的创新精神；要善于旁敲侧击、增设台阶、适时启发，忌和盘托出、迫不及待，跃过了学生自悟的环节；要通过各种渠道让学生不仅弄清正确的解题途径，更要体会步入解题通道的选择、判断过程；当遇“此路不通”时，应共同分析，弄清根源，从而根治在同一问题上一错再错的顽症；在思路剖析上应鼓励学生提出各种设想，认真作出评价，以提高他们的“择路”能力；解完题后，要启发学生经常想一想：过程是否完美？有无更好解法？能否特殊化或一般化？逆命题是否成立？能否通过类比得到一个类似的问题？真正做到：退一步——触发灵感，进一步——认清本质，倒一倒——别有洞天，串一串——融会贯通，辩一辩——迷途知返，议一议——豁然开朗，让学生在变化中，深化知识，活化能力，磨练真功．

2.5 归纳总结能力

归纳总结能力是一个人必备的基本能力.对于学习者来说，通过对所学知识进行梳理、归纳，有利于加强记忆、加深理解，有利于掌握知识联系、明晰知识规律，有利于将知识转化为能力，进而更好地构建自己的“知识体系”．

但有些教师在课堂教学中常常一讲到底，长驱直入，不注重方法提炼、解后反思和阶段小结，一节课、一个单元、一个章节结束后，不会指导学生对所学内容进行归纳与提炼，这样的教学难以达到举一反三、触类旁通之效．

现给出以下两个案例：

案例9 必修②p.102例2改编：若过点P（2，－1） 的直线 l 与圆O1：（x－1）2＋（y－2）2＝2相切，求切线方程．

问题1：将题中点P（2，－1） 改为点Q（2，3），如何求切线方程？

问题2：将题中点P（2，－1） 改为点M（1+2，-1），如何求切线方程？

在完成以上研究之后，应指导学生对求过一点的圆的切线方程的方法及其思维策略作如下总结与提炼：

步骤1：判断点与圆的位置关系：若点在圆上，由垂直条件直接求出切线的斜率，写出切线的方程（只有一条）；若点在圆外，执行步骤2．

步骤2：设出切线的斜率，写出切线的方程，根据直线与圆相切的条件求出切线的斜率．

步骤3：由点斜式写出切线方程，若有两解，解题结束；若只求得一解，执行步骤4．

步骤4：找回斜率不存在时的另一条切线．

数学习题，千变万化，但题不在多，而在于精，要指导学生对课本例题多作思考与研究，总结出解题方法和规律，然后作用于解决一类问题，掌握解题方法，提高学习效率.

案例10 必修④3.1.1《两角和与差的余弦》课堂小结：

心理学认为，没有结构联系在一起的知识，很快就会忘记，降低遗忘的有效方法就是归纳总结.以图表的形式进行归纳总结

是教学中的常用手段.上图既给出了本课教材的编写思路，又对主干知识与作用、涉及的主要思想方法进行了提炼，并指出了本课知识与前置知识的内在联系，让学生对所学知识理解得更深刻、记忆得更牢固，促进了知识体系的构建．

教材在每章教学结束后，均以框图的形式进行了知识的建构，并对主要数学思想方法进行了总结提炼，教师应加强对“本章回顾”的教学，指导学生回顾、复述、归类、整理，以有效锻炼学生的归纳总结能力．

总之，对数学新教材的优化重组，必须以新课程理念为指导，以提高教材重组的关键能力为突破，以校本实践为依托，认真处理好新课程标准和教材的关系，努力从更高层次上认识、理解和使用教材，真正实现由“教教材”向“用教材教”的转变，通过优化教学设计来实现教材的合理开发，促进课堂的优质高效，提高学生的数学能力．

作者简介 瞿国华，男，江苏南通人，1965年生，中学高级教师，江苏省数学特级教师，江苏省西亭高级中学党委书记、副校长，江苏省优秀教育工作者，南通市学科带头人，南通市中青年科技领军人才，50余篇，参编著作3部，完成省级规划课题研究3项．