因式分解\分式易错点解析
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1.对因式分解的意义理解不正确
例1 把多项式x2-4+3x分解因式.
错解:x2-4+3x=(x+2)(x-2)+3x .
错因分析: 因式分解是指把一个多项式化成几个整式的积的形式,错解分解因式后的形式不是几个整式的积,而是积与整式的和的形式.
正解:x2-4+3x=(x-1)(x-3).
2.对因式分解的方法运用不当
例2 把多项式 2a(x-y)2-4a2(x-y)分解因式.
错解: 2a(x-y)2-4a2(x-y)=2a(x-y)[2a(x-y)-4a] .
错因分析:错解中提公因式时只注意到字母因式,忽视了数字因式,且最后结果含有中括号.
正解:2a(x-y)2-4a2(x-y)=2a(x-y)(x-y-2a) .
点拨: 分解因式的基本方法有3种,即提公因式法、运用公式法(平方差公式、完全平方公式)和分组分解法.
3.对因式分解结果化简出错
例3 把多项式2x2y2-4x2y+2xy分解因式.
错解:2x2y2-4x2y+2xy=2xy(xy-2x).
错因分析: “1”作为项的系数时,通常省略不写,而单独作为一项时却不能漏写.
正解: 2x2y2-4x2y+2xy=2xy(xy-2x+1).
点拨: 因式分解要分解到每一个因式都不能再继续分解为止.
1.对分式定义的理解有误
例4 代数式 1-是( ).
A.单项式B.多项式C.分式 D.整式
错解:B.
错因分析: 判断一个代数式是否是分式,不是看结果,而是看形式.分式的定义中包含3个要点,①分子、分母都是整式;②分母中含有字母;③分母不为0. 分式的形式除了外,由整式与这样的式子之间的运算所组成的式子,也属于分式的范围.
正解:C.
点拨:A、B表示两个整式,并且中含有字母,则式子叫做分式.
2.忽视分式有意义的条件
例5 分式有意义的条件是_____ .
错解 : x≠1.
错因分析: 题中含有两重分母,它们必须都不为0,分式才有意义.据题意得1-x≠0,1-≠0,解得x≠1,x≠0.
正解:原分式有意义的条件是x≠1且x≠0 .
点拨:只有当分式的分母不为0时,分式才有意义.
3.忽视分式的值为0的条件
例6 要使分式的值为0,则().
A.x=±3B.x=3
C. x=-3 D.以上答案都不对
错解:A.
错因分析: 分式的值为0的条件是分子为0,分母不为0,所以x=3,(x-3)2≠0.解得x=±3,x≠3. 所以x=-3 .
正解:C.
点拨:只有当分式的分子为0,且分母不为0时,分式的值才为0.
4.对分式性质的理解不正确
例7把分式中的a、b都扩大2倍,则分式的值().
A.扩大2倍 B.扩大4倍
C.缩小2倍 D.不变.
错解 :D.
错因分析:题中的条件是a、b都扩大2倍,而不是分子、分母同时扩大2倍,即a变为2a, b变为2b,可把分式中的a、b分别用2a,2b代替,得==• .
正解:C.
点拨:分式的基本性质是分式的分子与分母都扩大或缩小相同的倍数,分式的值不变,是指分子、分母的整体,而不是部分.
分式运算
1.违背运算顺序
例8计算: -÷(-)•(-).
错解:原式= -÷=-.
错因分析:本题是分式的乘除运算,乘除是同级运算,计算时应从左到右依次运算,而错解先进行了乘法运算.
正解:原式= -×(-)× (-)=-.
点拨:分式的运算和数的运算顺序一样,应先算乘方、开方,再算乘、除,最后算加、减同级运算,从左到右依次计算.
2.忽视分数线的括号作用
例9 计算:÷(1-).
错解:原式=÷=÷=× =.
错因分析:分数线除了表示除号(或比号)外,当分子是多项式时,还起着括号的作用.因此分式相加减时,如果分子是多项式,必须将这个多项式看成一个整体,先用括号括起来再加减.
正解:原式=÷=÷=
× =-.
点拨:当分子是多项式时,分数线还起着括号的作用,须将分子用括号括起来再运算.
3.误用运算律
例10计算:÷(-).
错解:原式 =÷-÷=-=.
错因分析:误用运算律致错.
正解:原式 =÷=.
点拨:乘法对加法有分配律,而除法对加法没有分配律.
4.整式加减与解方程相混淆
例11 计算:-x2-x-1.
错解:原式= -(x2-x-1)=x3-(x-1)(x2+x+1)=x3-(x3-1)=1.
错因分析:把分式的化简与解方程去分母相混淆.分式化简的每一步变形都应依据分式的基本性质,通分要保留分母,不能去分母.
正解:原式== .
点拨:分式化简不能去分母.
分式方程
1.忽视对方程根的检验
例12 解方程-3= .
错解:去分母,得x-3(x-2)=2 ,去括号、移项、合并同类项得-2x=-4,解得x=2.
错因分析: 将分式方程转化为整式方程的过程中,由于去分母使未知数的取值范围发生了变化,有可能产生增根,因此在解分式方程时一定要验根.
正解:去分母,得x-3(x-2)=2 ,去括号、移项、合并同类项得-2x=-4,解得x=2.
检验,将x=2代入,使得分母x-2的值为0,所以x=2是原方程的增根,原方程无解.
点拨:验根是解分式方程的重要步骤,千万不能遗漏.
2.漏乘不含分母的项
例13 解方程-=1.
错解: 原方程可化为+=1,去分母得2x+1+2=1,解得x=-1.
错因分析:去分母,将分式方程转化为整式方程时,应将各项都乘以最简公分母.
正解:原方程可化为+=1,去分母得2x+1+2=x-3,解得x=-6.经检验x=-6是原方程的根.
点拨:将分式方程转化为整式方程,方程两边应同乘最简公分母,在这个过程中要避免漏项.
3.将方程变形时出错
例14解方程- = -.
错解:方程两边分别通分得=,同除以 5-x,得=,解得x=.经检验,x=是原方程的根.
错因分析: 方程两边同除以一个不等于0的数或整式,所得方程与原方程同解,而同除以含未知数的代数式,则有可能导致失根.因此当两个分子相等的分式相等时,一定要按①分子为零,②分子不为零,分母相等来分别求解,避免丢根.
正解:方程两边分别通分得=.
①当分子为零,即5-x=0时,解得x=5;
②当分子不为零、分母相等,即(x-4)(x-3)=(x-2)(x-1)时,解得x=.
经检验x=5,x=均是原方程的解.
点拨:方程两边同除以含未知数的整式时,不能遗漏分子为0的情况.