与圆有关的位置问题

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问题 如图1，在RtABC中，∠ACB=90°，AC=6 cm，BC=8 cm，P为BC的中点.动点Q从点P出发，沿射线PC方向以2 cm/s的速度运动，以P为圆心，PQ长为半径作圆. 设点Q运动的时间为t（s）.

（1） 当t=1.2时，判断直线AB与P的位置关系，并说明理由；

（2） 已知O为ABC的外接圆，若P与O相切，求t的值.

命题意图 本题是2011年南京市的一道中考试题，它着重考查了同学们对勾股定理、相似三角形条件和性质、切线判定方法以及两个圆相切性质的掌握，同时还考查了分类讨论、转化与化归、方程等数学思想方法.

解题指导 （1） 当t=1.2时，P的半径为2.4，要判断直线AB与P的位置关系，就需要比较圆心P到直线AB的距离与2.4的大小，因此，解决本题的关键在于根据条件求出圆心P到直线AB的距离；（2） 两圆相切包括内切和外切两种情况，显然，P与O只能内切，则两圆的圆心距等于它们的半径之差.由于这两个圆的半径大小关系没有给出，因此，需要分情况加以讨论，进而建立方程解决问题.

解题过程 （1） 如图2，过点P作PDAB，垂足为D.

在RtABC中，∠ACB=90°，AC=6 cm，BC=8 cm，AB=■=10 cm.

P为BC的中点， PB=4 cm.

∠PDB=∠ACB=90°，∠PBD=∠ABC， PBD∽ABC，

■=■，即■=■，求得 PD=2.4 cm.

当t=1.2时，PQ=2.4 cm，即圆心P到直线AB的距离等于P的半径， 直线AB与P相切.

（2） ABC中∠ACB=90°， AB为ABC的外接圆的直径，

OB=■AB=5 cm.

连接OP. P为BC的中点， OP=■AC=3 cm. 点P在O内部， P与O只能内切.

由O、P半径分别为5、2t，可得5-2t=3或2t-5=3，解得t=1或4. 所以，P与O相切时，t的值为1或4.

追根溯源 本题是一道与圆的位置关系有关的试题，它融直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系于一体，它类似于义务教育课程标准实验教科书苏科版《数学》九年级上册教材第136页第7题与第141页第2题.

第136页第7题：如图3，P是∠BAC的平分线上一点，PDAC，垂足为D. AB与以P为圆心、PD为半径的圆相切吗？为什么？

第141页第2题：如图4，O的半径为4，C是O外一点，OC=7.

（1） 以C为圆心作C与O外切，求小圆C的半径；

（2） 以C为圆心作C与O内切，求大圆C的半径.

变式拓展 1. 两圆内切，其中一个圆的半径为5，两圆的圆心距为2，则另一个圆的半径为__________.

2. 已知关于ｘ的一元二次方程x2-2（R+r）x+d2=0没有实数根，其中R、r分别为O1、O2的半径，d为两圆的圆心距，则O1与O2的位置关系是（ ）

A. 外离 B. 相交 C. 外切 D. 内切

3. 如图5，梯形ABCD中，AB∥CD，∠BAD=90°，以AD为直径的半圆O与BC相切.

（1） 求证：OBOC；

（2） 若AD=12，∠BCD=60°，O1与半圆O外切，并与BC、CD相切，求O1的面积.

参考答案

1. 3或7. 2. A.

3. （1） AB∥CD，∠BAD=90°， ∠ABC+∠BCD=180°、∠ADC=90°，则AB、CD都与O相切.又 O与BC相切， OB平分∠ABC、OC平分∠BCD，∠OBC=■∠ABC，∠OCB

=■∠BCD， ∠OBC+∠OCB =■∠ABC+■∠BCD=90°， ∠BOC=90°，即OBOC.

（2） 设O1与CD相切于点E，连接O1E. 则O1ECD. 设O1的半径为r，由（1）知O1C

=2O1E=2r，且OO1=6+r，所以OC=6+r+2r. 又由AD=12，得OD=6、OC=12， 6+r+2r=12，解得r=2， O1的面积为4π.