对“方程 与方程 的根之和”的再认识

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摘要：对《数学通报》2007年第11期刊登的“方程 与方程 的两根之和一定为P吗”的再认识后得到了两个方程的根相关的定理。

关键词：起因；再思；再探索

中图分类号：G632 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2013）16-281-01

拜读了《数学通报》2007年第11期刊登的“方程

与方程 的两根之和一定为P吗”后，本人对此问题继续着文[1]作者的思路，又进行了再思考、再认识，得到了一些新的想法，现和大家分享。

1、 问题的起因

文[1]从方程 和方程 的两根之和为这入手，猜想并论证了：

（1）若函数在R上是增函数，则方程 与方程 的根之和一定为定值p。

（2）若函数在R上是减函数，则方程 与方程 的根之和不一定为定值。

从文[1]的论述来看，有理有据。但我的第一感觉觉得好像对这个问题的分析有点意犹未尽。本人自问：“求方程

与方程 的两根之和”这个问题的本质在哪？

2、对问题的再思考

对上述问题的理解，若从函数图像的对称性去理解，那将是另一番丰收的景象。

定理1、若方程 有且只有n个实根，分别记为 ，且 有意义，则（1）方程

必有且只有n个实根；

（2）设方程 N个实根分别为 ，

则有（ ）+（ ）=np。

证明：（1）1若设 为方程 的一个实根，则有 ，即点M（ ）在函数y=f（x）的图像上，又 有意义且函数y=f（x）的图像和其反函数 的图像关于直线y=x对称，故点M（ ）关于直线y=x的对称点M1（ ）在函数 的图像上，有 ，即 ，故 是方程 的一个根。

2从前面1的论证不难理解，若 为方程 的一个实根，那 则一定是方程 的一个实根。故由12可知方程 必有且只有N个实根。

（2）由（1）的论证过程可知，若 为方程 的N个根，则 是方程 的有且只有的N个根，不妨设

，则（ ）+（ ）=（ ）+ =np

若有了此结论，则文[1]中的反例也是成立的。

3、 对问题的再探索

本人认为此类问题的本质是想揭示曲线和曲线关于直线对称的实质。为此本人又对此

题进行了再探索。

定理2、若曲线C1：f（x，y）=0和曲线C2：f（x，y）=0关于直线L1：ax+by+c=0对称，且

直线L2：bx-ay+t=0（和直线L1垂直的任一直线）和曲线C1：f（x，y）=0有且只有N个交点， 则

（1） 直线 L2：bx-ay+t=0和曲线C2：f（x，y）=0必有且只有N个交点；

（2）设直线L2和曲线C1的交点为

直线L2和曲线C2的交点为 则必有

参考文献：

[1]龙世枚. 方程 与方程 的两根之和一定为P吗.数学通报，2007.11.