走进数学新课标,走进数学思想

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《数学新课程标准（2011）》总体目标指出“通过义务教育阶段的数学学习，学生能获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验。”从上面表述可以看出总体目标的最大变化之一就是：“双基”发展为“四基”。基本数学思想和基本活动经验是在十年课改实践中抽象出来的东西，是我们的特色。因此，如何有效帮助学生感悟数学思想，提升学生的数学素养，成为我们教学研究的方向之一。下面谈谈自己的几点看法。

一、提出“基本数学思想”的必要性

所谓数学思想，是指人们对数学理论与内容的本质认识，它直接支配着数学的实践活动。数学思想贯穿于数学的学习过程，是对数学本质理解的集中体现，是数学的灵魂。

1.“基本数学思想”的提出是时展的必然趋势

“双基”是我国数学教育多年形成的传统，也是我国数学教育的优势所在。一直以来“双基”是学生数学基础好、数学成绩优的重要标志。然而，随着社会的发展，特别是人类知识的快速增长，只是强调“双基”已经不能满足现实的需要，必须在“双基”的基础上有所发展。《标准（实验稿）》提出过程性目标以及重视学生情感、态度与价值观的培养等，表明人们不断意识到只有“基础知识和基本技能”是不够的，必须与时俱进，不断创新。《新课标》明确提出“四基”是数学教育改革的必然要求，是时展的必然趋势。

2.“基本数学思想”的提出是落实三维目标的具体体现

从上图可以看出，双基仅仅涉及到我们常说的三维目标的第一维目标——知识与技能，另外两维目标都没有涉及到。而新增的基本数学思想就较好地体现出“过程与方法”这个目标。因此，“基本数学思想”的提出是落实三维目标的具体体现。

3.“基本数学思想”的提出是培养创新型人才的要求

从培养创新型人才来看，双基是培养创新型人才的一个基础，但是创新型人才不能仅靠熟练掌握已有的知识和技能来培养。实际上，一个人要具有创新精神，需要四个基本要素：扎实基础、数学思想、数学经验和创新机遇。也就是说，要创新，需要具备知识技能、需要掌握思想方法、需要积累有关经验，几方面缺一不可。解决老师提出的问题，解决书本上提出的问题，解决考试里提出的问题是我们的学生的优势，但是创新型人才中更重要的素养是能自己独立思考、自己发现问题、提出问题、分析问题和解决问题。创新型人才的出现在很大程度上，取决于这个人的思维方法。

二、“基本数学思想”在小学课本中的体现

数学基本思想主要是指数学抽象的思想、数学推理思想和数学模型的思想。数学抽象的思想派生出的有：分类讨论的思想、数形结合的思想、符号表示的思想、集合的思想、变中有不变的思想、对称的思想、对应的思想、有限与无限的思想等。数学推理的思想派生出的有：归纳的思想、化归的思想、联想与类比的思想、逐步逼近的思想、代换的思想、特殊与一般的思想、演绎的思想、公理化思想等。数学模型的思想派生出的有：简化的思想、量化的思想、函数的思想、方程的思想、优化的思想、随机的思想、抽样统计的思想等。从现行的小学数学教材内容来看，小学数学常用到的数学思想有：数形结合的思想、化归的思想、数学模型、分类的思想、符号化思想等等。这些数学思想方法对帮助学生解决实际问题有着重要的作用。下面就谈谈其中的几个思想在小学课本中的体现。

1.分类讨论的思想

人们面对比较复杂的问题，有时无法通过统一研究或者整体研究解决，需要把研究的对象按照一定的标准进行分类并逐类进行讨论，再把每一类的结论综合，使问题得到解决，这种解决问题的思想方法就是分类讨论的思想方法。其实质是把问题“分而治之、各个击破、综合归纳”。

新课程标准在总目标中要求学生能够有条理地思考，这种有条理性的思考就是一种有顺序的、有层次的、全面的、有逻辑性的思考，分类讨论就是具有这些特性的思考方法。因此，分类讨论思想是培养学生有条理地思考和良好数学思维品质的一种重要而有效的方法。

分类讨论的思想在小学数学数与代数领域中的具体体现。

2.符号化的思想

数学符号是数学的语言，数学世界是一个符号化的世界，数学作为人们进行表示、计算、推理和解决问题的工具，符号起到了非常重要的作用；因为数学有了符号，才使得数学具有简明、抽象、清晰、准确等特点，同时也促进了数学的普及和发展；国际通用的数学符号的使用，使数学成为国际化的语言。

数学新课程标准要求重视培养学生的符号意识。那么，在小学阶段，如何理解这一重要思想呢？下面结合案例做简要解析。

第一，能从具体情境中抽象出数量关系和变化规律，并用符号表示。这是一个从具体到抽象、从特殊到一般的探索和归纳的过程。如通过几组具体的两个数相加，交换加数的位置和不变，归纳出加法交换律，并用符号表示：a+b=b+a。再如在长方形上拼摆单位面积的小正方形，探索并归纳出长方形的面积公式，并用符号表示：S=a×b。这是一个符号化的过程，同时也是一个模型化的过程。

第二，理解符号所代表的数量关系和变化规律。这是一个从一般到特殊、从理论到实践的过程。包括用关系式、表格和图象等表示情境中数量间的关系。如假设一个正方形的边长是a，那么4a就表示该正方形的周长，a2表示该正方形的面积。这同样是一个符号化的过程，同时也是一个解释和应用模型的过程。

符号化思想在小学数学数与代数领域中的具体体现。

3.化归的思想

所谓化归就是把一个问题A进行变形，使其变换为另一个已能解决的问题B，既然B已经可以解决，那么A自然也就可以解决。化归的实质就是将“新知”转化为“旧知”，利用“旧知”解决“新知”。小学数学课本中涉及到的各种数学问题，可以简单地分为两类：一类是直接应用已有知识便可顺利解答的问题；另一种是陌生的知识、或者不能直接应用已有知识解答的问题，需要综合地应用已有知识或创造性地解决的问题。如知道一个圆的半径，求它的面积，只要知道圆的面积公式的人，都可以计算出来，这是第一类问题；如果不知道平行四边形的面积公式，通过割补、平移、变换把平行四边形转化为长方形，推导出它的面积公式，再计算面积，这是第二类问题。对于广大小学生来说，他们在学习数学的过程中所遇到的很多问题都可以归为第二类问题，并且要不断地把第二类问题转化为第一类问题。解决问题的过程，从某种意义上来说就是不断地转化求解的过程。

化归思想在小学数学课本中图形与几何领域的体现。

4.数形结合的思想

数形结合就是通过数和形之间的对应关系和相互转化来解决问题的思想方法。数学是研究现实世界的数量关系与空间形式的科学，数和形之间是既对立又统一的关系，在一定的条件下可以相互转化。数形结合思想的核心是代数与几何的对立统一和完美结合，就是要善于把握什么时候运用代数方法解决几何问题是最佳的、什么时候运用几何方法解决代数问题是最佳的。数形结合思想可以使抽象的数学问题直观化、使繁难的数学问题简捷化，使得原本需要通过抽象思维解决的问题，有时借助形象思维就能够解决，有利于抽象思维和形象思维的协调发展和优化解决问题的方法。数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直觉，形少数时难入微。”这句话深刻地揭示了数形之间的辩证关系以及数形结合的重要性。众所周知，小学生的逻辑思维能力还比较弱，在学习数学时必须面对数学的抽象性这一现实问题；教材的编排在千方百计地使抽象的数学问题转化成学生易于理解的方式呈现，借助数形结合思想中的图形直观手段，帮助学生体验知识的形成过程。

三、“基本数学思想”渗透应遵循的原则

1.过程性原则 在小学数学教学中渗透数学思想方法时，不应直接点明所应用的数学思想方法，而是通过精心设计的教学过程，有意识的引导学生潜移默化地领会蕴含其中的数学思想和方法。

2.系统性原则 教师在制定教学计划时，要充分掌握这一册教材中可以结合哪些内容进行什么数学思想方法的渗透，再结合后续的教学整理出数学思想方法教学的系统。

总之，走进新课程标准，走进基本数学思想，对培养学生的数学素养和数学能力是至关重要的，也是我们全面推进素质教育、培养创新型人才的重要手段。

（作者单位：山西省太原市万柏林区兴华街小学）