赏析全等三角形中的开放题

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近几年的各地中考中,全等三角形常以开放探究的形式出现,可能设置的问题结论不唯一，或条件不完备，或推理确定需要解题者依据题意确定结论或补全条件，或通过变换操作、或有关图形的动态变化导致某些图形、情境的变化，进而构建不同的数学模型或选择不同的解题策略进行解答.由于这类试题的条件、结论不确定及图形的变化性，使得解题方法与答案呈现不同与多样性，主要有条件开放、结论开放、动态探究等．现结合2010年各地中考试题进行说明，与同学们分享．

一、条件开放题

例1（2010昆明中考题）如图1，点B、D、C、F在一条直线上，且BC = FD，AB = EF．请你只添加一个条件（不再加辅助线），使ABC≌EFD，你添加的条件是 ；

解析：由条件BC = FD，AB = EF可知，已具备了两边，要使两个三角形全等，可借助SSS补充AC=DE，也可借助SAS补充∠ABC = ∠EDF使ABC≌EFD．

点评：条件探究是指题中所给问题中的结论明确，而需要完备使结论成立的条件的试题，主要有三种类型;一是问题中的条件未知，需要探究，二是条件不足，需要寻求充分条件，三是条件多余或有错，要求排除多余条件或修正错误条件.解答这类问题往往是把结论反过来当条件用，需要执因索果，逆向推理，逐步探求使结论成立的条件，解决这类问题时，还要注意挖掘图形中的隐含条件，性质.

二、结论开放题

例2（2010年黄冈）如图2，一个含45°的三角板HBE的两条直角边与正方形ABCD的两邻边重合，过E点作EFAE交∠DCE的角平分线于F点，试探究线段AE与EF的数量关系，并说明理由.

分析：等腰直角三角板BH＝BE，结合背景正方形的AB＝BC，AD∥BE，可得AH＝CE，∠DAE＝∠BEA，由∠H＝∠FCE，AH＝CE，∠HAE＝∠FEC可证HAE≌CEF，从而得到AE＝EF．

解：AE＝EF，理由如下：

因为BH＝BE，BA＝BC，所以AH＝CE，因为AD∥BE.

所以∠DAE＝∠BEA， 因为∠HAD＝∠ABE＝90°，所以∠HAE＝∠FEC，因为∠H＝∠FCE＝45°，所以HAE≌CEF（ASA），所以AE＝EF．

评注：探究性试题是指问题的结论不唯一，或条件不完备，或推理确定需要解题者依据题意确定结论或补全条件，或选择不同的解题策略后再进行解答.数学开放探究题是相对于传统题条件完备、结论确定的封闭题而言的.由于这类试题的条件与结论不确定，使得解题方法与答案呈现多样性，主要有条件开放、结论开放、解题策略开放、综合开放等类型. 开放性试题一般没有明确的结论，没有固定的形式和方法，需要同学通过观察、分析、比较、概括、推理、判断等探索活动来确定所需要的结论或方法或条件，用以考查同学们的分析问题和解决问题的能力和创新意识．

三、动态探究题

例3（2010临沂中考题）如图3，已知矩形ABCD，点C是边DE的中点，且AB=2AD．

(1)判断ABC的形状，并说明理由；

(2)保持图3中的ABC固定不变，绕点C旋转DE所在的直线MN到图4中的位置（当垂线段AD、BE在直线

MN的同侧）．试探究线段AD、BE、DE长度之间有什么关系？并给予证明；

（3）保持图4 中的ABC固定不变，继续绕点C旋转DE所在的直线MN到图5中的位置（当垂线段AD、BE在直线MN的异侧）．试探究线段AD、BE、DE长度之间有什么关系？并给予证明．

解析：（1）ABC是等腰直角三角形.如图3在矩形ABED中，因为点C是边DE的中点，且AB=2AD，所以AD=DC=CE=EB，∠D=∠E=90°．所以RtADC≌RtBEC．所以AC=BC， ∠DCA=∠ECB=45°．所以∠ACB=90°．所以ABC是等腰直角三角形.

（2）DE=AD+BE．如图4，在RtADC和RtBEC中，因为∠DCA =∠CAD=90°， ∠DCA +∠ECB =90°．所以∠CAD=∠ECB．又因为AC=BC， ∠ADC=∠CEB=90°，所以RtADC≌RtCEB．所以DC=BE，CE=AD．所以DC+CE= BE+AD，即DE=AD+BE．

（3）DE=BE-AD．如图5，在RtADC和RtCEB中，因为∠DCA +∠CAD=90°， ∠DCA +∠ECB =90°，所以∠CAD=∠ECB．又因为∠ADC=∠CBE=90°，AC=CB， 所以RtADC≌RtCBE．

所以DC=BE，CE=AD．所以DC-CE=BE-AD， 即DE=BE-AD．

点评：本题是一道动态探究综合题，解决这类题关键是需要发挥自己的想象力和空间观念，不被“动”所迷，应在“动“中求“静”，“以静制动”，把动态操作转变成静态问题解决.在具体情境及操作变换解题过程中，经历观察、思考、猜测、推理、反思等实践活动，发现变量之间的互相依存关系和内在联系，从而获得感性认识，加深对数学问题情境的清晰认识与理解，从而上升为理性认识.