复习导航 第12期

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复习攻略（一）直线方程

直线是高中平面解析几何初步的基础知识，历年高考都十分重视对这一知识点的考查，考查的重点有：直线方程，两直线的位置关系，直线与圆（椭圆）的位置关系等。直线的应用非常广泛，常以其他数学知识为载体进行命制，难度中等。

复习心得慢工出细活，由点到面，对待基础既稳又狠。

复习方案

步骤一注意斜率和倾斜角的区别，了解斜率的图象（注：区分清楚直线倾斜角的取值范围是）。

步骤二掌握直线方程的五种形式，由于直线方程的特殊形式都具有明显的几何意义，但又都有一些特定的限制条件，例如点斜式和斜截式要求斜率存在；截距式不适用于过原点的直线和与坐标轴垂直的直线；两点式要求直线既不与x轴垂直，也不与y 轴垂直。因此应用时要注意它们各自适用的范围，以避免漏解。通用的解决方法是待定系数法；根据所知条件选择恰当的直线方程的形式是解题的关键；克服各类方程局限性的手段是分类讨论；开阔思路分析问题的措施是数形结合。

（注：如无特殊要求，我们常选择一般式和斜截式书写最后的结果）

步骤三直线与直线的位置关系有相交、平行与重合，要能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系。在相交的位置关系中，最重要的是垂直。当两直线垂直时，主要问题是求交点坐标和讨论两直线垂直的条件（特别注意验证斜率的存在性）；平行时主要是讨论平行的条件。在这类问题中，直线通常是含有参数的，要想准确地确定这些参数，一定要注意分类讨论，和熟练使用充要条件，最后对所得结果进行检验方可一击即中，轻松得分。

步骤四直线与圆的位置关系是高考的热点，几乎每年都不漏。由于圆的几何特殊性，解答直线和圆的位置关系问题我们一般采用如下几种方法：（1）代数法。将圆的方程和直线的方程联立起来组成方程组，利用判别式 Δ来讨论位置关系： Δ>0相交；Δ=0相切；Δ

步骤五理解并能熟练使用与直线相关的公式，如点到直线距离公式；两平行线间距离公式；两直线的夹角（到角）公式，注意在使用时注意斜率是否存在；还有中点坐标公式和两点间距离公式，在研究点线对称，线线对称的问题时经常遇到。

总之，想做好和直线相关的题目一定要注意待定系数法、数形结合法、分类讨论、函数与方程思想等的灵活使用，不积跬步，无以至千里，坚实的基础，是拿到高分的前提。

复习攻略（二）圆的方程

圆的方程及相关的知识点是数形结合的典范，是高考常考的主要知识模块。解决这一类问题的关键在于：不应只是形成一个个的解题套路，应从宏观上去把握，从微观上突破，在审题和解题思路的整体设计上下功夫，不断克服解题中的运算难关。

复习心得通关全局，局部入手，整体思维。

复习方案

步骤一熟练掌握并区分圆的标准方程和圆的一般方程在形式上的特征，各自较常见的适用情况。圆的一般方程适用于与直线或者圆方程联立方程组，在求交点坐标、公共弦方程等方面更能突出计算方便的优势。同时圆的两种方程形式要灵活选择，能够熟练转化。

步骤二注意与圆的方程有关的几种经典题型，掌握其解题的常见思路。

题型一过一点求圆的切线方程：（1）判断点与圆的位置关系，来确定所求切线的条数；（2）讨论斜率是否存在；（3）利用直线与圆相切时圆心到直线的距离等于半径求解参数。

题型二求圆的切点弦所在直线方程，基本方法是通过圆的切线性质转化为两圆公共弦解决。

题型三求两圆的公共弦方程：（1）写成圆的一般方程的形式；（2）两圆方程相减。

题型四求两圆的公切线方程：数形结合，注意利用圆心连线和公切线的图形中位置关系，利用相似比解决问题。

题型四与圆有关的一些取值范围、最值等问题。解决这类问题审题要清，充分挖掘圆自身的特征和所给条件之间的关系，结合图形，充分考虑特殊的位置关系。

步骤三熟练掌握与圆相关的公式：（1）弦长公式；（2）点到直线距离公式；（3）两点间距离公式；（3）中点坐标公式。

归根到底圆的方程相关题目要想做好，还是在于对公式的熟练使用，在此基础上从单一图形的题目做起，逐步做到最终的综合题型。其实能否得到最终答案或者证明主要取决于思路是否清晰，而训练思路的办法就只有多做题，熟能生巧吧，没有捷径！

复习攻略（三）圆锥曲线

常见题型

题型一求圆锥曲线的方程，高考试题中解析几何解答题的入口一般就是求圆锥曲线的方程。求解的基本方法有：（1）定义法。当动点轨迹的条件符合圆锥曲线的定义时，可以直接根据定义写出动点的轨迹方程，其主要难点是如何把给出的几何条件转化到圆锥曲线的定义上来。（2）待定系数法。当知道圆锥曲线类型时，可先设出相应的方程，再根据条件确定方程系数，其主要难点是如何列出系数所满足的方程（组）。（3）直接求轨迹法。将动点满足的几何条件转化为代数方程，化简整理得到动点的轨迹方程，难点就是几何条件到代数方程的转化。

题型二直线与圆锥曲线的位置关系（相交弦、切线问题）。在解决直线和圆锥曲线相交的弦长问题时，我们通常采取设而不求，根据根与系数关系，整体代入的思想。在解决直线与圆锥曲线相切问题时要注意区分“交于一点”和“切于一点”。

题型三圆锥曲线中的定点问题。首先要明确解决这类问题的基本思想，定点问题必然是在变化中所表现出来的不变的量，那么就用变量表示题目中的直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找这些直线方程、数量积、比例关系不受变量所影响的某个点，就是要求的定点。

题型四圆锥曲线中的最值范围等问题。解决这类问题首先明确研究对象，选择一个合适变量，其原则是这个变量能表达要解决的问题，接着建立不等关系，其关键是充分利用圆锥曲线的几何性质、判别式法或基本不等式法等灵活处理，另外还要格外注意题中设置的限制条件。 综上所述，解析几何的知识主线很清晰，就是直线方程、圆的方程、圆锥曲线方程及其简单的几何性质。复习解析几何是不能把目标仅仅定位在知识的掌握上，要在解题思想解题方法上深入下去。

复习攻略（四）立体几何和空间向量

高考习惯利用立体几何考查学生的空间想象能力。在解答题中考查方式必然是空间线面位置关系的证明和空间角、距离的计算等。我们也经常将这种位置关系和计算翻译成向量的运算关系来解答。

常见题型

题型一位置关系。空间线面平行关系的证明主要是依据空间线线、线面、面面平行的性质定理和判定定理，要熟练掌握这些定理的语言表达、符号表达和图形表达，这是证明空间平行关系的重要前提。证明空间平行关系的主要思想是转化，即通过线线平行证明线面平行，通过线面平行证明面面平行，又通过面面平行证明线面平行和线线平行，问题就是在这些平行关系的相互转化中解决的。空间线面垂直关系的证明依据是空间线面垂直、面面垂直的判定定理和性质定理，以及线线垂直的一些常用结论，要熟练掌握这些定理的语言表达、符号表达和图形表达，这是证明空间垂直关系的重要前提。证明空间垂直关系的基本思想也是转化，证明空间垂直关系的重点是线面垂直，证明线面垂直就是证明线线垂直，而线线垂直的证明又要通过线面垂直

实现，线面垂直的证明及面面垂直的证明就是在这种垂直关系的相互转化中实现。另外我们知道直线的标志是它的方向向量，平面的标志是它的法向量，证明线面位置关系时也可把位置关系用这两个向量进行表达。

题型二求距离。求距离的重点是点到平面的距离，直线到平面的距离和两个平面的距离可以转化成点到平面的距离，一个点到平面的距离也可以转化成另外一个点到这个平面的距离。（1）两条异面直线的距离。求法：利用公式法。（2）点到平面的距离。求法：①“一找二证三求”，三步都必须要清楚地写出来；②等体积法；③向量法。

题型三求角。（1）两条异面直线所成的角。求法：①先通过其中一条直线或者两条直线的平移，找出这两条异面直线所成的角，然后通过解三角形去求得；②通过两条异面直线的方向向量所成的角来求得，但是注意到异面直线和向量所成角范围，如果求出的是钝角，要注意转化成相应的锐角。（2）直线和平面所成的角。求法：①“一找二证三求”，三步都必须要清楚地写出；②向量法，先求直线的方向向量与平面的法向量所成的角，再向线面角转化。（3）平面与平面所成的角。求法：①“一找二证三求”，找出这个二面角的平面角，然后再来证明我们找出来的这个角是我们要求的二面角的平面角，最后就通过解三角形来求；②向量法，先求两个平面的法向量所成的角，再转化为二面角的平面角。

总之，立体几何解题过程中，常有明显的规律性，所以复习中必须对概念、定理、题型、方法进行总结、归类，进而建立知识框架及网络，弄清各概念之间的包含关系，理清定理的来龙去脉和相互转化的过程，从内涵和外延上区分容易混淆的各个概念，从条件、结论和使用范围上去区分容易混淆的各个定理。比如说，“中点”这个条件在题目中出现的频率相当高，这个现象背后肯定有规律！道理很简单，因为中点如果连到另一个中点，就会出现中位线，然后自然会出现平行关系，如果在等腰（或者等边）三角形的底边上，那就是垂直了。所以中点联系到了平行和垂直两大位置关系，能够利用这些规律去解决问题，会使我们思路更加明确而避免走弯路。

我始终相信成功虽然没有捷径，但有方法，希望我的一点小小体会能帮助您离成功更近一步。

（作者：陶炳宏江苏省海门高级中学数学组）