基于直接离散化方法的分数阶控制器设计

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摘要：分数阶微积分在控制领域值得研究的问题有很多，本文主要研究分数阶控制器不同的设计方法以及分析他们各自的控制性能，并且详细介绍了基于直接离散化方法的分数阶微积分算子近似离散化过程。直接离散化方法以Tustin+CFE为例设计了分数阶控制器，并得到其Z域数字表达式，并最终得到性能良好的分数阶控制器。

关键词：分数阶微积分 直接离散化 控制器

中图分类号：TP301 文献标识码：A 文章编号：1007-9416（2013）09-0003-02

1 引言

PID控制器是最早出现的控制器类型，在过程控制与运动控制系统中占有重要地位。由于PID控制器结构简单、各控制参数物理意义明确、调整方便、可靠性高和鲁棒性好等特点，而在工业控制中倍受青睐，应用极为广泛。随着近几年分数阶微积分理论的不断发展和完善，并且在计算机发展应用的基础上，分数阶控制理论的实际应用得以实现。因此，关于分数阶PIαDβ控制器的研究已成为一个新的方向。在分数阶控制理论历史上，分数阶PIαDβ控制器的出现为分数阶控制理论开辟了的应用途径，在控制领域具有里程碑的意义。

分数阶PIαDβ控制器设计完成后，应用于实际系统之前必须进行数字实现，原因是分数阶目前不能被直接运算。那么就需要用现在可以实现的数字表达式进行近似表达，一般而言，根据逼近形式的不同分为直接离散化和间接离散化。直接离散化方法其实质是通过生成函数直接转换到离散时间Z域中，然后采用某种展开方法得到一个有限阶次的离散表达式。对于一个分数阶微积分算子来说，直接离散化的主要工作包括分数阶生成函数的选择和分数阶生成函数的展开两大部分。不同的生成函数和展开方法的组合形式，可以得到不同的离散化结果。近年来国内外学者针对分数阶微积分算子离散化进行了各种研究，提出了很多的离散化方法。例如，递归式展开法（Muir-recursion）和连分式展开法（CFE：Continous Fractional Expansion）等等。

本文在下面各节将分别讨论基于直接离散化方法的分数阶PIαDβ控制器设计问题。

2 直接离散化方法基础

2.1 生成函数（Generation Function）

在控制理论与控制工程当中，通常会用传递函数或者微分方程来描述一个控制系统。由于用解析方法来求解分数阶微分方程相对比较复杂。因此，在工程领域中分数阶微分方程的数值解法则得到更为广泛的应用。对于分数阶控制系统，分数阶微积分算子（r∈R）可用生成函数表示，即分数阶微积分算子到Z域的一个变换。下面介绍几种常见的生成函数及其表示方法。

（1）Tustin算法（双线性变换法或梯形法）：

（1.1）

（2）辛普森（Simpson）方法：

（1.2）

为了克服在高频段的逼近误差，也可以选用两种或者两种以上的生成函数进行线性组合，以下辛普森和梯形算法也采用了同样的方法。

（3） 辛普森和梯形算法（The Simpson and Trapezoidal Operator）：

（1.3）

其中（1.3）是采用辛普森积分算子与Tustin算子进行加权求和，从而构造出一种新的生成函数。

2.2 生成函数的展开法

通过以上对生成函数的介绍，可以发现当分数阶微积分从S域转化到Z域后，生成函数是一个无理函数。因此还需要对其进行有理近似，常见的展开方法有以下几种。

（1）泰勒/麦克劳林展开法（Taylor/Maclaurin Expansion）

（2）连分式展开法（CFE：Continuous Fractional Expansion）

由于泰勒/麦克劳林展开是以多项式的形式近似逼近，所以这样的离散化形式对阶次要求比较高，在控制系统实现过程中计算量比较大，对控制系统的要求也高。因此一般选用简单的Euler生成函数。而对于第（2）种方法，将以Tustin生成函数为例介绍展开方法。

众所周知，用多项式逼近函数时，有时会出现振荡，在无界点附近的逼近效果很差。连分式作为一个古老的数学分支，随着计算技术的发展，因其在函数或者插值计算中具有收敛速度快的特点而得到广泛应用，即便是在复数空间也同样适用。因此，考虑到在分数阶微积分算子离散化中，记忆数据量大、计算复杂，则连分式法展开被应用到分数阶控制系统中。

3 基于直接离散化方法的分数阶PIαDβ控制器设计

3.1 分数阶控制系统

顾名思义，所谓分数阶控制系统就是用分数阶数学模型来描述的控制系统。图1.1给出的一个分数阶单位负反馈控制系统。由图可以看出一个分数阶控制系统可以分两种情况：一是控制器是分数阶的，二是受控对象是分数阶的。

本文所讨论的是第一种情况，即控制器为分数阶次的控制系统。所讨论的控制器是分数阶控制器。对应于分数阶控制器的分数阶控制系统结构如图1.2所示，本系统与一般整数阶PID控制器结构类似。

在实际设计中，分数阶控制器离散域的数学模型为：

（1.4）

由前面已知有多种分数阶微积分算子的直接离散化方法，考虑到离散化效果与适用性，以及前期相关研究[9]，我们在分数阶微积分算子离散化过程中，生成函数分别采用Tustin算子，展开方法采用连分式方法。

3.2 基于Tustin算子的分数阶PIαDβ控制器设计

在基于Tustin算子的分数阶控制器设计中，采用连分式展开方法对其进行直接离散化，得到下面的离散化表达的一般形式

（1.5）

归纳上述表达式，可写成一般通式如下：

（1.6）

（1.7）

其中，P和Q为矩阵，r表示某一确定的分数阶次，和Z分别表示由r和构成的维列向量。通过Matlab编程后可得：

（1.8）

式（1.8）便是采用Tustin+CFE方法下得到的分数阶控制器离散化模型。

4 结语

本文主要介绍了基于直接离散化方法的分数阶控制器的设计。对于直接离散化方法，详细介绍了现有的多种生成函数和展开方法，并给出了Tustin+CFE组合下的分数阶微分或积分的展开形式，并且设计了分数阶控制器，并得到其Z域表达式， 最后完成了基于直接离散化方法的分数阶控制器设计。

参考文献

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