如何认识问题的深层结构

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引言 对数学问题的求解，实质上是对问题结构的一种认识或揭示.对客观存在着的问题结构，人们的认识会有深有浅，从而产生浅层结构与深层结构的区别.

（1）对问题本身的浅层认识首先表现为：停留在事实性内容或叙述形式（甚至条件出现的前后）上，从而看不透：不同的事实性内容或不同的叙述形式有相同的数学结构，但发现不了缺少一针见血的本质揭示.

（2）对问题解法的浅层认识首先表现为：问题虽能求解但比较麻烦，或者是过程过于曲折，或者是无思维、思路，或者是对非本质条件的过分依赖等，其原因是对差距题的结构未看透，同时也表现为把两种实质相同的解题途径分割为了两个互不相关的解法.

（2010江苏无锡）（1）如图1所示，在正方形ABCD中，点M是BC边（不含端点B，C）上任意一点，点P是BC延长线上一点，点N是∠DCP平分线上一点，若∠AMN=90°，求证：AM=MN.

下面给出一种证明的思路，你可以按这一思路证明，也可以选择另外的方法证明.

证明：在边AB上截取AE=MC，连结ME，在正方形ABCD中，∠B=∠BCD=90°，AB=BC，所以∠NMC=180°-∠AMN-∠AMB=180°-∠B-∠AMB=∠MAB=∠MAE.

（下面请你完成余下的证明过程）

（2）若将（1）中的“正方形ABCD”改为“正三角形ABC”（如图2所示），点N是∠ACP平分线上一点，则当∠AMN=60°时，结论AM=MN是否还成立？请说明理由.

（3）若将（1）中的“正方形ABCD”改为“正n边形ABCD……X”，请你作出猜想：当∠AMN=_______时，结论AM=MN仍然成立（直接写出答案，不需要证明）.

思路探究 证两条线段相等，最常用的方法是证明两条线段所在的三角形全等. （1）中给出了线段EM，即是想提示证明AEM≌MCN. 由题目中的条件知，只需再找一角即可.（2）中解法同（1），在AB上构造出线段AE=MC，连结ME，进一步证明AEM≌MCN即可. （3）是将（1）（2）中的特殊问题推广到一般情况，应抓住本质：∠AMN与正多边形的内角度数相等.

简证 （1）因为AE=MC，所以BE=BM， 所以∠BEM=∠EMB=45°. 所以∠AEM=135°. 因为CN平分∠DCP，所以∠PCN=45°. 所以∠AEM=∠MCN=135°. 在AEM和MCN中，因为∠AEM=∠MCN，AE=MC，∠EAM=∠CMN，所以AEM≌MCN. 所以AM=MN.

（2）仍然成立，理由如下.

在边AB上截取AE=MC，连结ME（图略）. 因为ABC是等边三角形，所以AB=BC，∠B=∠ACB=60°. 所以∠ACP=120°. 因为AE=MC，所以BE=BM. 所以∠BEM=∠EMB=60°. 所以∠AEM=120°. 因为CN平分∠ACP，所以∠PCN=60°. 所以∠AEM=∠MCN=120°. 因为∠CMN=180°-∠AMN-∠AMB=180°-∠B-∠AMB=∠BAM，所以AEM≌MCN. 所以AM=MN.

（3）.

反思1 换一个思维角度，我们从图1的结论出发，若连结AN，则RtAMN应该是等腰直角三角形，如果作出RtANM的外接圆，有何发现呢？点C也在这个圆上吗？一个接近问题深层结构的“辅助圆”证法来到眼前！

证明 如图3所示，连结AC. 因为四边形ABCD是正方形，CN平分∠DCP，所以∠ACD=∠ACB=∠BCD=×90°=45°，∠DCN=∠DCP=×90°=45°. 所以∠ACN=∠ACD+∠DCN=45°+45°=90°. 因为∠AMN=90°，连结AN，构造以AN为直径的O，则M，C都在O上，即A，M，C，F四点共圆，如图3所示. 所以∠ANM=∠ACB=45°. 所以∠MAN=90°-45°=45°. 所以AM=MN.

反思2 上述方法还可以推广到：（2010湖北黄冈，有删减）如图4所示，当点E是BC延长线上（除点C外）的任意一点，其他条件不变时，结论“AE=EF”仍然成立.

思路简述 因为四边形ABCD是正方形，CF平分∠DCG，所以∠ACD=∠ACB=∠BCD=×90°=45°，∠DCF=∠FCG=∠DCG=×90°=45°. 所以∠ACF=∠ACD+∠DCF=45°+45°=90°. 因为∠AEF=90°，连结AF，构造以AF为直径的O，则E，C都在O上，即A，E，C，F四点共圆，如图4所示.所以∠FAE=∠FCG=45°. 所以∠EFA=90°-45°=45°. 所以AE=EF.

反思3 可以看出，构造辅助圆的方法揭示了问题的深层结构，我们不仅可以处理这里正方形为载体的问题，例题中第（2）问“将（1）中的“正方形ABCD”改为“正三角形ABC”（如图2所示）”，也可运用构造辅助圆的思路，请看下面的图5和图6.

结语 上面这些解题反思的案例说明，数学问题（包括解法）是有结构的，对这种结构的认识又是有深浅之分的，它是解题主体认知结构水平或优化程度在解题活动中的反映. 那么，怎样提高解题的认知水平呢？经验表明，自觉进行解题过程的反思分析是促进认知结构优化的一个有效途径.