基于模糊状态的串-并联可修系统的模糊可靠性

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Fuzzy Reliability of Repairable Series-parallel System with Fuzzy States

Yao Yao；Qian Cunhua；Liu Min

（School of Economics and Management，Nanjing University of Technology，Nanjing 211816，China）

摘要：研究了具有3台修理设备且在假定关键部件具有优先修理权的可修串-并联系统。利用马尔可夫过程对系统的各状态进行分析，得出系统各状态的概率。然后利用基于模糊状态的可靠性理论，通过定义系统模糊工作以及模糊故障的隶属函数，得到了可修串-并联系统的模糊可靠性指标的计算公式，并比较其结果与传统可靠性理论的不同之处。

Abstract: Under the condition that a key component will have a higher priority of repair, a repairable series-parallel system with three repairmen was studied. The probability of states was derived by Markov process. The membership functions of the states to success and failure were defined and the reliability indices of repairable series-parallel system were analyzed utilizing reliability theory incorporating fuzzy states. The difference between fuzzy reliability and conventional reliability was compared.

关键词：模糊状态 模糊可靠度 模糊可用度 串-并联可修系统

Key words: fuzzy state；fuzzy reliability；fuzzy availability；repairable series-parallel system

中图分类号：V438+.4文献标识码：A文章编号：1006-4311（2011）20-0020-02

0引言

串-并联可修系统的可靠性研究是可靠性理论和应用中比较活跃的课题[1-3]。本文所研究的是如图1所示的串-并联可修系统，它由3个子系统组成，如果其中一个子系统的所有部件都发生故障，则整个系统故障；如果某一个或多个子系统中的一部分部件故障，但没有引起任何一个子系统的所有部件故障，或者没有任何一部件故障，系统都可以正常运行。

1基于模糊状态的可靠性理论[4]

传统可靠性理论主要基于概率和二状态两个基本假设，随着科技的发展，应用在工程实际中的系统越来越复杂，因此判断整个系统工作或故障，仅用完全正常或完全正故障来评价显然是不合理的。此时的二态假设不成立，因此出现了模糊状态假设，即系统的故障定义是模糊的，在任一时刻，系统从某种程度上处于模糊成功状态，某种程度上处于模糊故障状态[5-6]。

假设系统具有n个非模糊状态S1，S2，…，Sn，令U={S1，S2，…，Sn}为论域，根据文献[7]，在这个论域上定义模糊成功状态S：S={Si，μs（Si）}（i=1，2，…，n）和模糊故障状态F：F={Si，μF（Si）}（i=1，2，…，n）后，就可以得到系统的模糊可靠性指标。

其中μs（Si）和μF（Si）为相应的隶属函数，令xij表示从Si到Sj的转移，且TSF={（xij，μ■（xij）} i，j=1，2，…，n}

TSF为从模糊工作状态到模糊故障状态的转移，并作为一个模糊事件，模糊可靠度为■（t■，t■+t）=P{T■不在[t■，t■+t]内发生}=1-■μ■（S■）P{t■+t时刻系统处于S■}=1-E■（1）

不失一般性，设t0=0，因此定义模糊可靠度为

■（t）=■（0，t）（2）

模糊可用度为■（t）=P{t时刻系统处于模糊成功状态}（3）

2模型假设

①设Xi与Yi分别表示部件i（i=1，2，…9）的工作时间和维修时间，且分别服从参数为λ和μ的负指数分布（λ>0，μ>0）并且Xi与Yi（i=1，2，…9）是相互独立的随机变量；②t=0时，所有部件是新的并可修复如新；③系统中有3台修理设备，对故障部件的维修按关键部件有优先权的维修规则进行；④设系统发生故障后，未故障的部件不再发生故障。

3模型分析及可靠性指标计算

3.1 模型分析令N（t）为系统在时刻t所处的状态，则

其中，工作状态集W={0，-1，-2，…，-6}，故障状态集F={3，4，5，6，7}。由模型假设，{N（t），t?叟0}构成一个齐次马尔科夫链，其状态空间为Ω={0，-1，-2，…，-6，3，4，…，7}。

根据模型假设和系统状态的定义，开始时系统中的所有部件都工作。随着时间的推移，一些部件发生故障，修理设备对故障部件进行修复，因此系统的状态进行变化，最终系统故障。当系统中故障部件数等于7时，系统必然故障。当故障部件数在1～7之间时，系统可能工作也可能发生故障。系统能否工作依赖于故障部件所处的位置。

3.2 可靠性指标计算通过模型分析，在Δt时间内由状态i转移到状态j的广义转移概率为

pij（Δt）=P{N（t+Δt）=j│N（t）=i}

假设系统在不同状态i下有Mi种情况发生，则

pij（Δt）=∑■■p■q■Δt+ο（Δt）（4）

其中pm表示在状态i的第m种情况下的概率，qm表示在状态i的第m种情况下转移到状态j的概率。

令P（t）=（p0（t），p-1（t），…，p-6（t），p3（t），…，p7（t）），根据Kolmogorov-Feller向前方程，有

P′（t）=P（t）QP（0）=（1，0，…，0）（5）

设Q=ABCD，

根据公式（4）（5），可得系统的转移概率矩阵：

B=0000 00000 0■λ000 00 ■λ 00 000 ■λ 0 00002λ 000003λC=003μ000000 0 3μ00000 0 03μ 0 000 0 003μ000 0 0003μ

D=-3μ 00000 -3μ0000 0-3μ00 0 00 -3μ 00 000-3μ

为求系统可靠度函数R（t），令原系统中所有故障状态为吸收状态，则讨论时间连续的具有5个吸收状态的齐次马尔科夫过程{■（t），t?叟0}，其概率转移矩阵为■。

假设时刻t，系统处于状态j的概率为■■（t）=p{■（t）=j}，其中j∈Ω。

■（t）=（■■（t），■■（t），■■（t），…，■■（t），■■（t），…，■■（t））（6）

根据Kolmogorov-Feller向前方程，有

■′（t）=■（t）■■（0）=（1，0，…，0）（7）

根据转移概率矩阵以及式（5）（6）（7），可得到P（t），■（t）

系统可靠度为

R（t）=■■（t）+■■（t）+■■（t）+■■（t）+■■（t）+■■（t）+■■（t）

系统可用度为

A（t）=p■（t）+p■（t）+p■（t）+p■（t）+p■（t）+p■（t）+p■（t）

4系统的模糊可靠性

设论域U={S0，S1，S2，…，S11}，当0?燮i?燮6时，Si=-i；当7?燮i?燮11时，Si=i-4

在论域U上定义模糊工作状态S和模糊故障状态F的隶属函数如下：

μ■（S■）=■ 0?燮i?燮600?燮i?燮11

μ■（S■）=■ 0?燮i?燮617?燮i?燮11

并且μ■（S■）=1-μ■（S■） （i=0，1，2，…，11）

根据式（1）（2）和隶属函数可得系统的模糊可靠度为

■（t）=1-∑■■μ■（S■）P{■（t）=S■}

=1-∑■■μ■（S■）P{■（t）=S■}-∑■■μ■（S■）P{■（t）=S■}

=1-∑■■■■■（t）-∑■■■■（t）

由于∑■■■■（t）+∑■■■■（t）=1，则可得到

■（t）=■■（t）+■■■（t）+■■■（t）+■■■（t）+■■■（t）+■■■（t）+■■■（t）

显然，■（t）

根据式（3）和隶属函数可得系统的模糊可用度为

■（t）=P{时刻t系统处于模糊成功状态}

=∑■■μ■（S■）P{N（t）=S■}+∑■■μ■（S■）P{N（t）=S■}

=p■（t）+■p■（t）+■p■（t）+■p■（t）+■p■（t）+■p■（t）

+■p■（t）

显然■（t）

5结束语

传统可靠性理论认为串-并联可修系统中只要所有并联子系统都处于工作状态，系统就工作。而基于模糊状态的可靠性理论则认为系统中只要有故障部件，系统就并非完全正常，只是某种程度上属于模糊成功，只有在系统中所有部件都工作时，系统才完全正常。因此模糊可靠性指标的估计比传统可靠性指标偏保守。但它综合反映了串-并联可修系统的状况，也反映了系统中故障部件对系统性能的影响程度，其分析方法更接近实际情况。另外，系统的模糊可靠性指标有很强的针对性，离开具体的隶属函数而抽象地谈论模糊可靠性指标是毫无意义的。本文得到了计算串-并联可修系统的模糊可靠性指标的公式，为分析此类系统的模糊可靠性提供了一种新思路。

参考文献：

[1]莫文辉.可修复串联系统的模糊可靠性[J].机械设计,1998,16(2):28-29.

[2]陈胜军,颜梁平.串联系统的模糊可靠性分析[J].现代机械,1997,24 (2):46247.

[3]冷护基.串并联系统的模糊可靠性[J].系统工程理论与实践,1994 ,14 (1) :11221.

[4]蔡开元.模糊可靠性理论中的基本概念[J].航空学报,1993(7):387-3985.

[5]黄洪钟.基于模糊状态的机械系统可靠性理论及应用的研究[J].机械设计,1995,9:11-13.

[6]徐勇.基于模糊状态的可修表决系统可靠性分析[J].北京理工大学学报，2000，20（6）:698-702.

[7]Cai K Y. Introduction to fuzzy reliability[M]. London: Kluwer Academic Publishers, 1996.