巧用不动点法求数列的通项公式
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在学习了数列之后,大家会经常遇到已知a1及递推公式an+1=f(an),求数列{an}的通项公式的问题,很多题目令人感到非常棘手.本文将就此问题给出一个“公式”性的方法――不动点法，应用此法可巧妙地处理此类问题，供大家参考.
=f(an),把此式中的an+1
、an均换成x得方程x=f(x).我们把方程x=f(x)的实数根x称为数列{an}的不动点.利用数列的非零不动点，即可简便快捷地求出数列{an}的通项公式.
一、若f(an)为整式，而{an}又只有一个非零不动 点x0,则可考虑用化简an+1-x0=f(an)-x0的方法求解.
例1 若a1=
-1,an=2an-1+3(n∈N
*,且n≥2),求数列{an}的通项公式.
分析：由x=2x+3知{an}仅有一个非零不动点-3，则an-(-3)=2an-1
+3-(-3)=2an-1
+6.
所以an+3=2(an-1
+3)
所以{an+3}是以a1+3=2首项、2为公比的等比数列，则当n
≥2时，有an+3=2n,故an=2n-3.
又a1=-1也满足上式.
所以{an}的通项公式为an=2n-3.
例2 若a1=0,an+1=
n+2n
an+
1n(n∈N
*),求数列{an}的通项公式.
分析：
由x=
n+2n
x+1n知{an}仅有一个非零不动点-
12，则
an+1-（-12
）=
n+2
n
an+1n
-(-12
).
所以an+1+12
=n+2n
(an+12),
则
an+1+12
n+2
=an+12n.
所以an+1+12
(n+1)(n+2)
=an+
12
n(n+1)
,故{an+12
n(n+1)}是一个常数列.
所以an+12
n(n+1)
=a1+12
1×(1+1)
=
122
=14.
所以an=
n2+n-24.
又a1=0也满足上式.
所以{an}的通项公式为an=
n2+n-24.
二、若f(an)为分式，而{an}有两个相同的非零不动点x0,则可考虑用化简an+1-x0=f(an)-x0的方法求解
例3 若a1=-1,an=
12-an-1
(n∈N
*,且n≥2),求数列{an}的通项公式.
分析：
由x=
12-x得{an}有两个相同的非零不动点1，
则an-1
=12-an-1
-1=
an-1-1
2-an-1
.
两边取倒数得1an-1
=
2-an-1
an-1-1
=
1an-1
-1-1.
所以{1an-1}
是以1a1-1
=-12
为首项、-1为公差的等差数列，故当n≥2时，
1an-1
=-12
+(n-1)•(-1)=
12
-n.
所以an=
3-2n1-2n.
又a1=-1也满足上式.
所以{an}的通项公式为an=
3-2n1-2n.
黑龙江省大庆一中（163100）