砌方块与方块涂色

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小珊喜欢用图中的小正方体砌成不同大小的方块：

她有大量这种小正方体. 她会用胶水将小正方体粘在一起，砌成方块. 首先，她用八块小正方体砌成方块，如图1，然后，再砌成图2和图3的实心方块.

【问题 1】所需积木的个数

小珊要用多少块小正方体才可砌出图2和图3的方块？

若小正方体的棱长为1，则砌出一个棱长为n的方块需要小正方体多少块？

【分析】这是一道较简单的规律探究题，图2共有三层，从上面看一层有3×3块，共有三排，所以共有3×3×3=27（块），同样的方法可以得出图3共有4×4×4=64（块），那么棱长为n的方块需要小正方体的个数为n×n×n=n3（块）.

【问题 2】实际操作

小珊在砌图2的方块时，发现可以砌出一个像图2，但里面是空心的方块. 请你思考她最少要用多少块小正方体？砌出一个看起来像是图3但却是空心的方块需要多少块小正方体？棱长为n的呢？你有什么发现？

【分析】这道题目需要我们发挥空间想象能力. 要砌出一个空心的图2，我们就要清楚图2的中心有几块小正方体，通过想象把大方块从上、下、左、右、前、后切开最外层，最后剩下1块，所以空心图2需要27-1=26（块）. 同样道理处于图3的中心有8块小正方体，所以空心图3需要64-8=56（块）. 再接下来中心有27（块），因此我们可以推测出棱长为n的空心方块需要小正方体[n3-（n-2）3]块.

【问题3】涂色问题

把图2和图3都涂上红色，那么请你观察一面涂成红色的小正方体有多少个？

【分析】对于图2：①它有8个顶点，在顶点处三面都涂有颜色，所以三面涂色的有8个；②正方体有12条棱，在每条棱上有1个二面涂色的，所以二面涂色的共1×12=12个；③正方体有6个面，每个面上一面涂色的有1个，所以一面涂色的共1×6=6（个）；④没有涂色就是最中间的1个.

同样的方法对于图3：①它有8个顶点，在顶点处三面都涂有颜色，所以三面涂色的有8个；②正方体有12条棱，在每条棱上有2个二面涂色的，所以二面涂色的共2×12=24个；③正方体有6个面，每个面上一面涂色的有4个，所以一面涂色的共4×6=24个；④没有涂色就是最中间的8个.

总结：对于拼成的棱长为n的正方体，涂色的只有三个面、两个面、一个面、没有涂色四种情况.

①一面涂色的小正方体有：（n-2）×（n-2）×6个；

②二面涂色的小正方体有：（n-2）×12个；

③三面涂色的小正方体有：8个（8个顶点处的正方体）；

④没有涂色的小正方体有：（n-2）3个.