一道回味无穷的数学高考试题

开篇：润墨网以专业的文秘视角，为您筛选了一篇一道回味无穷的数学高考试题范文，如需获取更多写作素材，在线客服老师一对一协助。欢迎您的阅读与分享！

1 试题展示

[2008全国2]（20） （本大题满分12分）

设数列{an}的前n项和为Sn.已知a1=a，an+1=Sn+3n，n∈N*.

（Ⅰ）设bn=Sn-3n，求数列{bn}的通项公式；

（Ⅱ） 若an+1an，n∈N*，求a的取值范围.

2 思路简析

（Ⅰ）

思路1 依题意，Sn+1-Sn=an+1=Sn+3n，即Sn+1=2Sn+3n，由此得Sn+1-3n+1=2（Sn-3n）.因此，所求通项公式为bn=Sn-3n=（a-3）2n-1，n∈N*.

思路2 由an+1=Sn+3n和an+2=Sn+1+3n+1消去Sn和Sn+1得an+2-2・3n+1=2（an+1-2・3n），n∈N*从而数列{an+1-2・3n}是等比数列可求出an再求出Sn和bn

思路3 由bn=Sn-3n=an+1-2・3n得bn+1=an+2-2・3n+1从而得bn+1/bn=（an+2-2・3n+1）/（an+1-2・3n）=2进一步可求出bn

（Ⅱ）

思路：由①于是，当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2×3n-1+（a-3）2n-2，an+1-an=4×3n-1+（a-3）2n-2=2n-2[12（32）n-2+a-3]，

当n≥2时，

an+1≥an12（32）n-2+a-3≥0 a3-12（32）n-2恒成立a{3-12（32）n-2}maxa≥-9.又a2=a1+3>a1.

综上，所求的的取值范围是[-3，+∞）.

3 五点闪光

本题以数列的递推关系式为载体，主要考查等比数列的概念、等比数列的通项公式、不等式成立的条件、函数单调性与最值等基础知识，考查运算能力和推理论证能力及化归思想的应用.

3.1 题意简明，人人能懂：本题的第一个闪光点就是题目简单易懂，人人平等，不管语文基础如何都能读懂，与过去一些高考题中有的题根本读不懂题意大不相同，如[1999全国]23.（本小题满分14分）就不一样了.请看：

已知函数y=f（x）的图像是自原点出发的一条折线，当nyn+1（n=0，1，2，…）时，该图像是斜率为bn的线段（其中正常数b≠1），设数列|xn|由 f（xn）=n（n=1，2，…）定义.Ⅰ.求x1、x2和xn的表达式；Ⅱ.求f（x）的表达式，并写出其定义域；

Ⅲ.证明：y=f（x）的图像与y=x的图像没有横坐标大于1的交点.

3.2 依纲据本，突出重点：数列的重点内容之一是等比数列，高考很多题最终都要化为等比数列来解答，本题立足课本，体现了教材和大纲的指导作用. 公式sn=a1-anq1-q=a11-q-q1-qan与sn+1-sn=an在解题过程中发挥重要作用，在全日制普通高级中学教科书〈数学〉第一册（上）第142页第5题有类似的题：在数列{an}中，a1=1，an+1=3Sn，（n1），求证：a2，a3，…，an是等比数列.

所以说，本题能依纲据本，又突出重点.

3.3 方法多样， 化归当先：本题方法多样，学生在解题中有很多选择的余地，遵循高考命题的一贯宗旨，突出了数学的第一思想――化归思想，把不会变为会做的，把新题变为旧题，这种做法在高考的很多资料上都有所体现，使学有似曾相识之感，只要努力学习的学生都能有所收获。

3.4 立意新颖，不落俗套：本题虽然有似曾相识之感，但是，又不是最常见的an+1，an型或型Sn+1，Sn，立意较为新颖，用的是an+1，Sn型，要解题就要化为同类型的量的关系式。第二问也不是最常见的求n，因此，本题确有立意新颖，不落俗套之感，与下题相比就略胜一筹。

[2007天津文20]在数列{an}中，a1=2，an+1=4an-3n+1，n∈N*.

（Ⅰ）证明数列{an-n}是等比数列；

（Ⅱ）求数列{an}的前n项和Sn；

（Ⅲ）证明不等式Sn+1≤4Sn，对任意n∈N*皆成立.

3.5 不偏不怪，推陈出新：本题的第二问虽然有点难度，但也不是很偏很怪的题，在过去的高考题中早就出现， 早在1990年的全国高考题和广东省高考题中就出现此法，并且在很多参考书中也常出现分离变量法，只不过把此法用在数列中是一种创新，就体现出推陈出新之妙.

[1990全国1]

（26）f（x）=lg1+2x+…+（n-1）x+nxan，其中a是实数，n是任意自然数且n≥2.

（Ⅰ）如果f（x）当x∈（-∞，1]时有意义，求a的取值范围；

（Ⅰ）解：f（x）当x∈（-∞，1]时有意义的条件是

1+2x+…+（n-1）x+nxa>0 x∈（-∞，1]， n≥2，

即 a>-[（1n）x+（2n）x+…+（n-1n）x]x∈（-∞，1）] ①

因为-（kn）x（k=1，2，…，n-1）在（-∞，1]，

上都是增函数，

所以

-[（1n）x+（2n）x+…+（n-1n）x]

在（-∞，1]上也是增函数，从而它在x=1时取得最大值

-（1n+2n+…+n-1n）=12n（n-1）n=-12（n-1）.

因此，①式等介于a>-12（n-1）.

也就是a的取值范围为

{（a|a>-12（n-1）}.