基于“数学本质”的数学概念教学

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《普通高中数学课程标准（实验）》（以下简称《标准》）明确指出：在数学教学中，应该返璞归真，努力揭示数学概念的发展过程和本质.数学课程“要讲推理，更要讲道理”，通过典型例子的分析和学生自主探索的活动，使学生理解数学概念逐步形成的过程.

去年十月，学校组织了一次课堂教学大赛，笔者在这次课堂教学活动中，以人教A版《数学》选修21第二章第二节“椭圆的定义”为课题上了一节基于“数学本质”的数学概念生成课，受到了听课教师的好评.本文概述本课的教学过程实录，并附以自己的一些思考，以期专家同行的不吝赐教.

1教学过程实录

1.1创设情境，引入课题

多媒体展示图1.

师：请同学们观察太阳系中的行星的运行轨道，你能说出这些行星的运行轨迹是什么曲线吗？

生：椭圆.

师：你是怎么知道的？

生：地理课上老师讲的，科普书籍上介绍的.

师：大家还能举一些生活中见到的椭圆形的例子吗？

学生举出好多的例子，如油罐车的油罐横截面的外轮廓线，…….

师：同学们知道的还不少，老师也得向你们学习.（学生脸上露出了微笑）

同学们对椭圆已经有了初步的了解，这节课我们一起来探究“椭圆的定义”.（板书课题）

图1图2

12展示问题，探索新知

多媒体展示图2.

师：请同学们观察握力器的图片的形状，老师这

里有一个握力器模型，你能给大家演示一下将它如何变成椭圆吗？

生：（演示）挤压.

追问：椭圆是怎样生成的？

生（众）：圆经过压缩变成椭圆.

师：很好！把一个圆均匀压缩后，好像变成了椭圆，那么它到底是不是椭圆呢？请同学

们研究下列问题.

图3

（多媒体展示）引题：如图3，在圆x2+y2=16上任取一点P，过P作x轴的垂线

段PD，D为垂足.当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹方程是什么？你能猜想

出点M的轨迹是什么吗？（教材第41页例2改编）

求动点轨迹问题，学生在“圆”和“曲线与方程”章节中已有认知基础，对引题中求动

点M的轨迹方程应该没有太大的困难.教师巡视指导学有困难的学生，不一会儿，绝大部分

的学生有了结果，求出点M的轨迹方程是x2+4y2=16，但对轨迹是什么图形，有些学

生猜想是椭圆，有些学生感到茫然.

教师用“几何画板”演示，让点P慢慢的绕圆周运动，线段PD的中点M（设置成追踪

点）所形成轨迹的形状（如图4），同学们异口同声：“椭圆”.

图4图5

师：很好！我们知道，圆的定义是平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹，即在圆的

定义中有一个定点，一个定长.那么，椭圆是否也可以通过定点、定长来定义呢？

（学生思考交流）

生：可以，因为椭圆由圆压缩而来的.

师：有道理.

追问：定义椭圆需要几个定点？有没有定长？

有些学生猜想是两个定点，而有些学生说不可能是一个，但具体是几个，不知所措，此时，教师用“几何画板”演示：点P沿着圆的半径PO滑到点M的过程中，圆心O沿着x轴向两边分别滑向点F1，F2（如图5），半径PO滑到MF1，MF2的位置.

师：在上面的演示中，你有什么发现？

生：有两个定点F1，F2，MF1和MF2的长都等于圆半径的长.

师：好！我们来验证一下你的观察是否正确，教师用“几何画板”中的“度量”工具度量出MF1和MF2的长都是4.

生：我还发现MF1+MF2=8.

追问：你是怎么想到的？

生：从课本上看到的（众生笑）.

师：很好！你有课前预习的好习惯，请保持.刚才，同学们发现点M在图5的位置时，有MF1+MF2=8.那么，点M在椭圆周上其它位置是否也有MF1+MF2=8.

图6

教师用“几何画板”演示：让点P沿着圆周缓缓运动，则点M就沿着椭圆周运动（如图6），线段MF1和MF2的长度随着点M的位置的变化而改变，但始终有MF1+MF2=8.

师：通过“几何画板”直观演示，我们发现：“椭圆周上任意一点M到两个定点F1，F2的距离之和始终等于8.”你能否进行严格的论证？

（学生思考，讨论）

生：由上面的演示易知，F1（-23，0），F2（23，0）.设M（x，y），由于点M在椭圆上，所以点M的坐标必满足方程x2+4y2=16，即y2=16-x24.于是，MF1+MF2=（x+23）2+y2+（x-23）2+y2=（3x+8）22+（8-3x）22

=3x+82+8-3x2=8.

师：真棒！你通过代数计算的方法检验了我们直观演示的结果.

13归纳提升，形成定义

师：通过上面的探索，你能给椭圆下个定义吗？

生：平面内到两定点F1，F2的距离的和等于定长的点的轨迹叫椭圆.

追问：大家满意吗？

生：应加上定长大于两定点F1，F2间的距离.

师：为什么要加上“定长大于两定点F1，F2间的距离.”

（学生思考讨论，遇到困难时，教师指导）

生：如果定长等于两定点F1，F2间的距离时，动点的轨迹是线段F1F2；定长小于两定点F1，F2间的距离时，不成轨迹.

师：好极了！下面我们给出椭圆的定义.

（板书）平面内到两定点F1，F2的距离和等于常数（大于F1F2）的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.

1.4应用新知，解决问题

请同学们应用本节课所获得的知识，解决下面问题.（最好独立完成，遇到困难时，可以交流讨论）

问题1：你能用椭圆的定义画出一个椭圆吗？

问题2：如果点M（x，y）在运动过程中，总满足关系式x2+（y+3）2+x2+（y-3）2=10，则点M的轨迹是什么曲线？为什么？

图7

问题3：如图7，圆O的半径为定长r，A是圆O内一个定点，P是圆上任意一点.线段AP的垂直平分线l和半径OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹是什么？为什么？

2教学反思

“椭圆定义”是继“圆定义”后的又一平面曲线的一个概念，《标准》对“椭圆定义”的学习要求是：“经历从具体情境中抽象出椭圆模型的过程，掌握其定义.”本文基于数学本质对“椭圆定义”做教学设计，以下一些方面值得反思.

2.1以生为本，对教材二次开发

椭圆的定义，在教材中是这样引入的：“把细绳的两端拉开一段距离，移动笔尖的过程中，细绳的长度保持不变，即笔尖到两个定点的距离之和等于常数.”围绕这个方法产生许多教学设计.或是让学生按教材上的叙述方法，动手画出椭圆，或是用课件演示，按定义画出椭圆，但定义是怎样想到的？两个定点从何而来？似乎是“魔术师的帽子里突然跳出一只兔子”，不可理喻.为此，本设计改变了教材原有的编排顺序，将椭圆定义后的例2进行改编，然后前置，作为探索主线，从学生已有圆的认知基础出发，设置适合的问题使学生亲身经历观察、操作、探究、猜想、验证等活动，感知椭圆概念的形成原本是自然的，水到渠成的.

2.2情境化的创设，激发了学生学习的兴趣

《标准》指出：数学教学应注意创设情境，从具体实例出发，展现数学知识的发生发展过程，使学生能够从中发现问题，提出问题，经历数学的发现和创造过程，了解知识的来龙去脉.特别是数学概念的引出，新教材关注与其它学科，周围环境，日常生活等实例的联系，通过设置丰富的问题情境，对于激发学生的学习兴趣，拓展学生的视野，加强知识之间的相互联系，帮助学生建构数学知识有非常重要的作用.本设计在椭圆概念的引入和定义的探索中注重情境化，使学生学有余力，轻松自如.

2.3多媒体的使用，为本课的教学增添了亮点

课后评议中，老师们一致认为课堂设计总体思路清晰，“几何画板”的有效使用，直观形象地呈现了图形的动态变化过程，使学生能很好地理解数学本质，进而探索数学结论，交流，讨论，师生对话等多样的学习方式，调动了学生学习的积极性，主动性，激发学习兴趣，养成了学生积极思考，乐于探索的好习惯.