走近“数感”
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摘 要： 义务教育阶段的数学教育要面向全体学生，数学教育的目的在于提高学生的数学素养.大多数学生将来不会成为数学家或数学工作者，但每一个学生都应建立一定的数感，这对他们将来的生活和工作都是有价值的。中小学数学教学中培养学生的数感，目的就在于使学生学会数学地思考，学会用数学的方法理解和解释现实问题。
关键词： 初中数学教学 数感 数学素养 创新能力 实践能力
美术有“美感”，音乐有“乐感”，语文、英语有“语感”，数学要有“数感”.所谓数感，狭义地讲，是指学生对数的敏感性.它是对数与运算的一般理解，这种理解可以帮助人们用灵活的方法作出数学判断和为理解复杂的问题提出有效的策略.广义地讲，数感既指学生对数值的一种直觉，对数学公式、定理、性质、公理等数学概念的直接反映；又指学生在实际情境中对数和运算概念的感悟和理解，以及运用这些知识的意识.
调查表明，我国学生学习具有较强的自我封闭性，普遍注重“纯粹”技能技巧的训练和题型练习，脱离社会生活实际，即使一些数学技能掌握较好的学生面对一些现实的数学问题也常常感到困难.所以培养学生的数感，让学生知道数学的应用价值，树立应用意识，形成能够解决日常生活工作中的数学问题的能力，并通过这一应用过程学会用数学的眼光看社会，从而形成正确的数学态度，显得尤其重要.
新颁发的《义务教育数学课程标准》，第一次明确地把“数感”作为数学学习的内容提出来，这是前所未有的.新课标中有六个核心概念，它们是：数感、符号感、空间观念、统计观念、应用意识、推理能力.“数感”摆在首要的位置，可见让学生在数学学习过程中建立数感，是新课标十分强调和重视的问题.那么“数感”的重要性体现在哪些方面呢？
一、数感的建立是提高每个学生的数学素养的重要标志
义务教育阶段的数学教育要为每一个学生的发展着想，适应每一个人的需要.作为公民素养之一，数学素养不只是用计算能力的高低和解决书本问题能力的大小来衡量的.学生学会数学地思考问题，用数学的方法理解和解释实际问题，能从现实的情境中看出数学问题，这是数学素养的重要标志.一个小学或初中毕业生，学习了那么多的数学知识，但不会估计一个学校操场大约有多大，不知道如何用最恰当的方式向别人说明自己所在的位置，不能在需要的时候用数学的方式解释某些现象，能说这个学生的数学素养高吗？这样的数学教育能说是成功的数学教育吗？注重培养学生的数感，正是针对以往的数学教育过分强调单一的知识与技能训练、忽视数学与现实的联系、忽视数学的实际运用这种倾向提出来的.
1.通过估算，培养数学素养。
以学校开展“从我做起、保护环境、爱护地球”活动为例，为增强说服力，教师可以这样设计问题，要求学生估算解答:“全国的初中学生如果每人每天浪费一小张纸，一年全国初中学生要浪费多少吨纸？要用多少辆卡车运输？”要求学生对其中的初中学生数、一小张纸有多大多重、一辆卡车能运几吨等数据都必须做出合理的估计，并在此基础上进行估算.学生得出：若全国有1.3亿初中学生，纸张就算一人一天浪费30克的16开的小纸张，而一辆卡车的载重量为5吨，那么在这些基本数据的基础上进行计算，真是“不算不知道，一算吓一跳.”根据题意全国的初中学生一年浪费的纸张达90000吨，要用18000辆卡车才能运完.同时还可以结合题目让学生谈谈如何保护环境、爱护地球.这样的活动在提高了学生的估算能力的基础上，使学生养成用数学的观点观察和认识事物的习惯，并逐步学会把简单的实际问题表示为数学问题.
2.介绍古代记数方法，丰富数学素养。
人们可以用不同的方式表示数，抽象的数字符号不是表示数的唯一方式.人类早期对数的认识是从实物、代替物、图形，逐渐发展为数字符号的，如最初用小石子、树枝、贝壳之类记数，后来用“结绳记数”，最后产生了数，所以人类的数感也是一个由具体到抽象的过程.数感，使人眼中看到的世界有了量化的意味，当我们遇到可能与数学有关的具体问题时，就能自然地、有意识地与数学联系起来，或者试图进一步用数学的观点和方法来处理解决，即会“数学地”思考.了解古代记数方法的演变过程，可以丰富学生的数学素养.
二、数感的建立也是培养学生创新精神与实践能力的需要
数感的建立使学生有更多的机会接触和体验现实问题，表达自己对问题的看法，用不同的方式思考和解决问题，这无疑有助于培养学生的创新精神和实践能力.
1.体验数感，培养动手操作能力。
瑞士心理学家皮亚杰说：“学生的思维最初从动作开始的，切断动作与思维的联系，思维就得不到发展；智慧的鲜花是开在手上的.”动手操作活动是学生学习经验不断内化、提升的过程，也是学生主动发展的自由天地，注重动手操作的数学课堂将成为学生探索的乐园、创新的摇篮.而数感的作用，让学生有了操作的方向.
如教平行四边形面积的计算时，回忆矩形的面积计算公式，利用对数学公式的直接反应，引导学生利用纸片、剪刀、直尺等工具把平行四边形怎样转化成已学过的矩形，学生动手操作将剪下的直角三角形从左边移到右边，从而既解决了平行四边形的面积问题，又培养了学生的动手操作能力.因此，“数感”牵引着实际操作，拓宽了知识的范围.这样的教学，突破了教学结论的束缚，使学生的实践能力得到了发展.
2.感悟数感，激发学生的创新能力。
在数学教学活动中，我们经常发觉，面对同一个数学情境，有些学生迅捷反应，思路清晰；有些学生苦思冥想，姗姗作答.这实际上就是一种独特的心理结构和思维现象――数学气质的不同所造成的.前者一开始总是自发或自觉地倾向于通过直接的数学棱镜去认知数学对象和学习内容，进而成为数学气质中的精髓――数感.
例如：在解决三角形的内角和的定理证明时，有良好数感的人马上能从“180度”联想到平角和同旁内角互补，从而为后面的添平行线打下基础，进而用多种方法解决定理的证明，拓宽思路，提高创新能力.
三、数感的培养有助于学生数学地理解和解释现实问题
数学是人们认识社会、认识自然和日常生活的工具.学生学习数学，一方面是为进一步学习打下基础，另一方面是要学会用数学的方法和数学的观点认识周围事物和客观世界的规律，处理有关的问题.培养学生的数感就是让学生更多地接触和理解现实问题，有意识地将现实问题与数量关系建立起联系.
1.理解数的意义，解释现实问题。
数的产生来源于生活，密切联系学生的生活实际来学习数学，有利于对数的意义的理解.反过来，良好的数感又为理解现实问题服务.在教“负数”时，就可以让学生说说在生活中什么时候能用到负数？例如：温度-10℃或-20℃，还有电梯的-1层或-2层，等等，让学生体会到数学就在我们身边，学好数学知识，能数学地理解和解释现实问题.
2.运用数的统计方法，解决现实问题。
数学是和现实生活联系最密切的学科之一，许多数学知识都来源于生产、生活实际，又能应用于实际.例如教学《统计》时，结合准备新年联欢会，教师可以设计这样一个情节：新年就要到了，我们班要举行入学以来的第一次新年联欢会，联欢会上要给每位同学买一个他最喜欢吃的水果，该买哪些水果呢？每种水果该买多少呢？让学生讨论如何解决这个问题.有的学生说：“谁喜欢吃什么就告诉老师.”有的说：“喜欢吃苹果的举手，数一数有几个，再让喜欢吃香蕉的举手，数一数有几个……”总之，学生已经感到必须在进行调查后作出的决定才能使大多数同学满意，这就使学生初步感受到统计知识在生活中的应用.学好数的整理能解决生活中碰到的实实在在的问题，体现了数学的应用价值，从而激发学生的求知欲.
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四、数感的培养有利于学生提出问题和解决问题能力的提高
解决问题能力的培养重要的是在具体的问题情境中让学生去探索、去发现，解决一个问题可能需要一种以上策略，不只是简单地套用公式解固定的模式化的问题.要使学生学会从现实情境中提出问题，从一个复杂的情境中提出问题，找出数学模型，就需要具备一定的数感.学会将一个生活中的问题转化成一个数学问题，这种思维方式，与一般的解决书本上现成问题的思维方式有着明显的差异.学生要在遇到具体问题时，自觉主动地与一定的数学知识和技能建立起联系，这样才有可能建构与具体事物相联系的数学模型.具备一定的数感是完成这类任务的重要条件.
1.感受数感，自主探索。
著名数学家波利亚曾说：“学习任何知识的最佳途径是自己去发现，因为这种发现理解最深，也最容易掌握其中内在的规律、性质和联系.”在数学教学中，教师要引导学生通过测量建立起良好的数感，让学生在自主探索的过程中得出结论.如教学“正方形四条边边长相等”时，让学生先进行测量，通过对测量的数据的感受提出问题:正方形的四边均相等吗?促使学生自主探究，得出证明方法.这样，既提出了问题又解决了问题.
2.利用数感，变式练习。
学生数学能力和思维的培养，都必须以学生的数学知识积累为前提.知识转化为能力，是一个渐变的过程.完成这一过程一要靠理解，二要靠练习，而数感就是理解与练习程度的指标.数学基础知识始终在智能发展过程中起着奠基和主导作用，没有知识，就无法形成数感；反之，数感越健全，知识也就越扎实，而且知识更易活化.因此，课堂教学应在加强基础知识教学的同时，扩张和加深练习内容，通过科学选题，以必要的训练作用于学生.比如，在“三角形的内角和”课上，我设计了下面一组变式题：
如图：在ΔABC中，∠A=80°，∠ABC和∠BCA的角平分线相交于点D，求∠BDC的度数?
变式：（1）若∠A=40°呢?
（2）若∠A=m°呢?
（3）把“BD，CD分别平分∠ABC和∠BCA”改成“∠DBC=∠ABC，∠DCB=∠BCA”呢?那么（2）的结论还会成立吗?
在训练的时候，有良好数感的学生马上反应过来，只不过把前面的换成或而已，计算方法，计算思路还是不变.
利用数感进行高效的练习，不断变换角度，紧紧瞄准，突出重点、突破难点，这样设计的问题能解决一类题，这对训练学生思维和能力是大有裨益的.反过来，经常将相同、相似和相异的数学内容放在一起，让学生细心地比比、看看、想想，领悟其中的联系与差别，在比较中强化感知性、感应性和感受性.
3.升华数感，寻找巧解。
用不同的方法解答相同的问题，有利于培养学生的发散思维能力.通过比较，在优中选优，可以使同学们的思维更加灵活，从而摆脱思维定势的限制.但如果具备一定的数感，用敏锐的眼光发现问题的具体特点，直接根据数量之间的关系进行计算，而不拘泥于一般思路，就会迅速地找到巧妙的解法.
例如：如图，已知ABC的面积是36平方厘米，求阴影部分的面积.
一般解法：
（1）ABC的底为：4＋8＝12（厘米）
（2）ABC的高为：36×2÷12=6（厘米）
（3）阴影部分的面积为：4×6÷2=12（平方厘米）
巧妙解法：连接三角形ABC的顶点A和底边BC的三等分点，这样三角形ABC就被分成了三个小三角形.因为阴影三角总之，数感的培养在数学教育中起着重要的作用，但数感的形成不是靠一朝一夕就能完成的，它是一个潜移默化的过程，需要用较长时间逐步培养.教师要努力钻研教材，创造性地运用教材所提供的素材巧设教学环节，把帮助学生建立数感作为数学教育的基本目标并落实到具体课堂教学过程中去，目的就在于使学生学会数学地思考，学会用数学方法解决现实问题.
参考文献：
［１］刘兼.数学课程标准解读.北京师范大学出版社，2002.5.
［２］杨华.培养学生的数感.河北教育出版社，2004.5.
［３］马云鹏.史炳星.认识数感与发展数感.数学教育学报，2002，11.
［４］陈亚萍，付茁.数感的含义.价值及其对课程改革的启示.2007.
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