基于年金特征的内部收益率速算研究

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摘要：新企业会计准则规定，借款或债券的溢折价等只能采用实际利率法摊销，采用实际利率法摊销的关键之一便是确定实际利率亦即内部收益率。现行计算内部收益率的方法为插值法或Excel环境下的插入函数法，插值法计算过程繁琐，插入函数法需要借助计算机。为达到简化计算，本文针对未来各期现金流量相等即具有年金特征的情形，提出年金现值率的概念，根据内部收益率计算原理建立数学模型，借助计算机编程，利用“二分法”列方程求解实根，得到具有年金特征的各种组合情况下的内部收益率，并将内部收益率计算结果设计成表格形式。针对具体问题而言，直接查表便可得到所需的内部收益率，从而克服了插值法计算内部收益率的复杂性。

关键词：年金 年金现值率 插值法 内部收益率

一、引言及文献回顾

借款或债券的溢折价摊销方法有直线法和实际利率法。直线法就是将溢折价在借款期内或债券存续期内平均摊销，简明易懂，在会计实务中被广泛采用。根据我国新会计准则，借款或债券的溢折价等不再使用直线法而只能采用实际利率法摊销。实际利率法体现了投资收益与筹资成本同实际收益率之间的关系，但其计算过程比较复杂。

对于实际利率法涉及的如何简化摊销额或利息调整计算问题，吴良海分别给出了分期付息到期还本债券和到期一次还本付息债券各期溢（折）价摊销额的计算公式；吕志明给出了债券溢（折）价摊销模型；张敦力等给出了基于实际利率法的利息调整Excel解决方案。对于实际利率法涉及的实际利率即内部收益率计算问题，袁小明等根据插值法的原理，给出了内部收益率的计算模型；荣莉研究了用Excel计算内部收益率和相关投融资费用或收益的摊销；王婧通过模型的一般化表述，给出了内部收益率的抽象函数；肖琳利用金融工具箱实现了对持有至到期投资中的内部收益率计算，并通过Matlab的Excellink功能提供了对Excel的命令接口，最后在Excel中实现了求解持有至到期投资收益计算的通用模型。

现有研究都是针对某一具体问题，从理论上给出了各期摊销额或利息调整的计算公式，或通过模型求解内部收益率。运用实际利率法摊销的关键之一就是确定内部收益率，除了通过Excel应用软件可以达到内部收益率的简化计算外，其余研究中的内部收益率计算都还没有脱离插值法，采用插值法计算内部收益率，需要进行多次试算，还要借助年金现值系数表、复利现值系数表，计算过程繁琐。本文的目的，就是假定未来各期现金流量相等即具有年金特征，通过年金现值率概念的提出，利用“二分法”列方程求解实根，借助计算机编程，得到具有年金特征的各种组合情况下的内部收益率，并将内部收益率计算结果设计成表格形式，从而克服了插值法计算内部收益率的复杂性。

二、问题描述及相关假设

为了简化计算模型，本文所研究问题的内部收益率是指未来各期现金流入或流出的金额相等，并假定在不考虑资金时间价值时，未来现金流入或流出的合计大于现值。以下用P表示未来现金流入或流出的金额即年金，A表示现值，n表示期限数，则具有年金特征的内部收益率业务现金流量如图1所示：

下列具体会计准则所涉及业务的内部收益率均具备年金特征：

（一）固定资产准则中涉及的具有融资性质的分次等额支付货款的采购业务。企业购买固定资产的价款超过正常信用条件延期支付，具有融资性质的，应以购买价款的折现值作为固定资产的入账价值。将来实际支付的价款与购买价款的现值之间的差额，除按照借款费用准则允许资本化的以外，应当在信用期间内按实际利率法摊销计入财务费用。

（二）无形资产准则中涉及的具有融资性质的分次等额支付价款的购买业务。企业购买无形资产的价款超过正常信用条件延期支付，具有融资性质的，应以购买价款的折现值作为固定资产的入账价值。将来实际支付的价款与购买价款的现值之间的差额，除按照借款费用准则允许资本化的以外，应当在信用期间内按实际利率法摊销计入财务费用。

（三）借款费用准则中涉及的一次借款分期等额偿还的信贷业务。借款存在溢价或者折价的，其溢价或折价应在借款期内按实际利率法摊销，调整每期利息金额。

（四）收入准则中涉及的具有融资性质的分次等额收取货款的销售业务。企业销售商品采取递延方式收取货款且具有融资性质的，应按现销价款确定销售收入，合同或协议应收的价款与现销价款之间的差额，应当在合同或协议期间内按实际利率法摊销计入财务费用。

（五）租赁准则中涉及的租金等额收取或支付的融资租赁业务。承租方：租入资产的入账价值按资产公允价值与最低租赁付款额现值两者中较低者确定，长期应收款按最低租赁付款额确定，两者之间的差额作为未确认融资费用，在租赁期内按实际利率法摊销计入财务费用。出租方：应收融资租赁款的入账价值按最低租赁收款额确定，假定无初始直接费用和未担保余值，最低租赁收款额与租出资产的原账面价值之间的差额作为未实现融资收益，在租赁期内按实际利率法摊销计入财务费用。

上述5项具体准则所述业务涉及的实际利率，就是财务管理中项目投资的内部收益率或内含报酬率，这里的项目投资是指一次投资、分期等额收回的投资业务。内部收益率就是使项目投资的现金流入现值与现金流出现值相等即净现值等于零时的折现（贴现）率，反映投资项目的真实报酬率。

三、研究设计

设现值为P，各期现金流入或流出为A，期数为n，假定n×A>P。净现值为零时的贴现率即内部收益率i表达式如下：

P-[A/（1+A）+ A/（1+A）2+… A/（1+A）n]=0 （1）

当n≥3时，从式（1）中无法求得i的计算公式。只能通过多次试算，求得i的近似值，这便是插值法，或通过Excel环境下的插入函数法计算得到i的值。为了实现内部收益率i的快速计算，需另辟蹊径。

式（1）化简得到计算内部收益率i的数学模型：

P/A=[1-（1+i）-n]/i （2）

式（2）中的变量有2个：期限数n，现值与年金的比值P/A。其中，变量n的范围是可控的，如可以设定为1，2，3，…；但变量P/A是不可控的，只能视具体问题计算确定。本文将P/A定义为年金现值比率或年金现值率。能否将变量P/A由不可控转变为相对可控，是首先需要研究的问题之一。

从式（2）不难看出，[1-（1+i）-n]/i 就是财务管理中的“1元的年金现值系数”。现就讨论的内部收益率计算而言，当n从1到30、i从1%到30%便可满足大多数实际问题的需要，相当于这样一个范围的项目投资：投资期在1至30年、实际收益率在1%至30%之间。当然，n和i的范围完全可以继续扩大。通过观察“1元的年金现值系数表”，n从1至30、i从1%至30%范围内的年金现值系数，最小值是（P/A，32%，1）=0.7576，最大值是（P/A，1%，30）=25.8077，因此，可以将P/A界定在0.7576至25.8077之间。以下将年金现值率P/A设定为0.75，0.76，0.77，…，25.80，25.81，相邻两个年金现值率之间的间隔为0.01。由于2个变量n和P/A都可以在一定范围内设定，因此可以利用这个设定来计算内部收益率。

四、编程计算与实际利率表的设计制作

从数学角度看，当n=1，2时，从式（2）可以求得i的计算公式，但当n≥3时，便无法从式（2）中求出实际利率i的计算公式。

设f（i）=[1-（1+i）-n]/i-P/A，应用“二分法”解方程f（i）=0。手工计算工作量巨大甚至难以进行，可运用计算机编程来求解此方程（此处略去求解实根的程序源代码）。

通过程序的运行，可得到期限数n=1，2，…，20 ；年金现值率P/A=0.75，0.76，…，25.81的内部收益率i。i取小数点后四位，第五位四舍五入，凡i≤0的，因其无实际意义，计算结果以“-”表示，将整列都是“-”的列删去。

将期限数n自表首从左向右排列，年金现值率P/A自表左从上往下排列。经过整理得到内部收益率计算结果的表格，称为“年金特征的内部收益率表”。由于该表篇幅太大，以下选取该表的部分结果进行列示，见下页表1。

本文将计算出的具有年金特征的内部收益率记为IRR（P/A，n）。

这样一来，对于具有年金特征的内部收益率不需采用插值法或插入函数法计算，直接查表即可。另外，插值法由于在局部区间用直线近似代替曲线，计算的内部收益率是一个近似值，存在一定误差。而本文得到的内部收益利率是利用“二分法”，通过计算机编程多次循环计算，其结果要比插值法更为精确。

五、实证检验

（一）先看一个延期收款销售的业务。某公司于2012年7月1日采用递延收款方式向甲公司销售一套设备，合同约定的销售价格为2 000万元，分5次于次年6月30日等额收取。该设备成本为1 540万元。在现款销售方式下，该设备的售价为1 600万元。假定该公司发出商品时，其有关的增值税纳税义务尚未发生；在合同约定的收款日期，发生有关的增值税纳税义务。

通常情况下，该公司应按从甲公司应收或已收的合同或协议价款确定为收入，由于收取的货款采取分期方式，具有融资性质，相当于甲公司在实现销售收入的同时，为乙公司提供了1 600万元、期限为5年、每年还本付息400万元的融资合同，对由此产生的货币时间价值，需采用实际利率法进行摊销。

首先计算内部收益率，设内部收益率为i，用插值法计算：

400×年金现值系数（P/A，i，5）=1 600

当i=7%时，上式左边=400×4.1002=1 640.08>1 600

当i=8%时，上式左边=400×3.9927=1 597.08

采用插值法，列方程：（1 640.08-1 600）/（7%-i）=（1 640.08-1 597.08）/（7%-8%），解得i=7.93%。

上述业务涉及的内部收益率属于年金特征的内部收益率，期限数n=5，年金现值率P/A=1 600/400=4，查“年金特征的内部收益率表”，得到内部收益率IRR（4，5）=0.0793=7.93%。

查表得到的结果与插值法计算的结果完全一致。有关账务处理略。

（二）再看一个有关项目投资的业务。某投资方案寿命期为6年，每年的净现金流量均为10 000元，初始投资额为39 400元。要求：计算该方案的内含报酬率。

先用插值法计算该方案的内含报酬率i；内含报酬率就是净现值等于零的贴现率。

年金现值系数=39 400÷10 000=3.94

查年金现值系数表，可知内含报酬率介于12%-14%之间。

当i=12%时，净现值=10 000×（P/A，12%，6）-39 400=1 714>0

当i=14%时，净现值=10 000×（P/A，14%，6）-39 400=-513

按等比关系列出方程：（i-12%）/（0-1 714）=（14%-12%）/（-513-1 714），解得i=0.1354即该方案的内含报酬率为13.54%。

本例中的内含报酬率属于年金特征的内部收益率，期限数n=6，年金现值率P/A=39 400/10 000=3.94，查“年金特征的内部收益率表”，得到内部收益率即该方案的内含报酬率IRR（3.94，6）=0.135 2=13.52%。

查表得到的结果13.52%与插值法计算的结果13.54%相差0.0002。采用插值法如果用13%和14%的年金现值系数结果进行测试，结果更为准确，但由于财务管理教科书“1元的年金现值系数表”大多没有列示13%的年金现值系数，只有12%的年金现值系数，因此只能用12%与14%的年金现值系数结果进行测试，这样会加大误差。笔者对本例采用Excel插入函数法计算的结果为13.50%。

六、结语

本文提出的方法，对于具体问题，只要计算年金现值率，结合已知的期限数，通过查询“年金特征的内部收益率表”便可得到所需的内部收益率，从而避免了插值法计算的繁杂性。本文提供的年金特征的内部收益率表，如同复利终值（现值）系数表、年金终值（现值）系数表一样，给财经人员业务学习和实务操作带来便利，既可节省时间，又能消除计算错误、减少计算误差。随着计算机技术的迅速发展，如何结合计算机软、硬件技术，设计并开发出低成本的实时计算工具，即带有内部收益率计算功能的计算器，这些都是未来需要进一步研究的问题。J

参考文献：

1.吴良海.债券溢折价实际利率摊销法的再探讨[J].安徽工业大学学报（社会科学版），2006，（5）.

2.袁小明，李文辉.新准则中实际利率法的采用与简便算法[J].中国总会计师，2008，（1）.

3.王婧.债券溢折价摊销的实际利率法[J].财会月刊（理论），2008，（4）.

4.肖琳.Excel与Matlab持有至到期投资收益模型浅析[J].财会通讯（综合），2010，（4）.

5.叶璋礼.实际利率及其算法研究[M].合肥：中国科学技术大学出版社，2013.

6.财政部会计资格评价中心.中级会计实务[M].北京：经济科学出版社，2013.

7.财政部会计资格评价中心.财务管理[M].北京：中国财政经济出版社，2011.