基于剪切单元模型的边坡稳定性分析
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摘要:为了解决边坡稳定分析中剪切带有限元网格的依赖性问题,采用梯度塑性理论,从本构关系中引入特征长度入手,建立计算模型。应用含剪切带单元分析了粘聚力和内摩擦角滑动面形迹和安全系数的影响.计算结果显示消除了经典有限元计算的网格依赖性问题。
关键词：边坡工程；梯度塑性；剪切带；有限元法
中图分类号：U213.1+3 文献标识码：A
1 引言
土体失稳时形成的剪切带是最为典型的土体应变局部化现象。剪切带形成的研究对于评价土工结构物的安全性和稳定性等问题具有重要意义。剪切带现象的本质是材料的不稳定。特别是土体材料千差万别，材料的不稳定性导致边坡稳定计算更大意义上是一种经验计算，很难做到严格的通过力学计算去模拟边坡发生的失稳滑动剪切破坏的过程。
有限元法分析边坡稳定主要是应用弹塑性本构按增量法计算边坡中的应力应变和刚度矩阵，应用库仑强度准则判断单元是处于弹性区还是塑性区。当塑性区贯通坡顶，就得到有一定宽度范围的塑性带。由于未滑的边坡其塑性区是不可能贯通坡顶的，因此也就不便于分析边坡的稳定性。文[1-3]应用强度折减有限元法，即逐步降低材料强度，以使塑性区继续发展直至贯通坡顶，这样就可以分析边坡的稳定性了。但是应用常规有限元技术计算出来的塑性带宽度较大，并受网格划分粗细的影响，而实际边坡的破坏面是一条狭窄的剪切带。
Fleck[4]等通过在本构方程中引入应变梯度，提出了一种新的偶应力—应变梯度弹塑性理论。由于该理论保证了高阶应力和应变梯度的功共轭，在有限元实现等方面具有很大优势，因此被广泛用于解决应变局部化问题。偶应力—应变梯度理论是传统弹塑性理论的推广，通过引入应变的高阶梯度项，从而使一点的应力状态不仅依赖于该点的材料行为而且也与邻域有关，同时引入细观材料长度常数，从而为宏观—细观力学构建了一个多尺度模型。
本文研究了有软化特性的剪切带的有限元计算模型问题，构造了Drucker-Prager(D-P)屈服准则下的偶应力弹塑性框架。采用本文所提出的方法可以有效地解决边坡稳定计算中的剪切带网格依赖性问题,为采用剪切带计算解决边坡稳定创造了条件。
2 梯度塑性理论下的D-P屈服准则
Ristinmaa[5]等在Fleck理论基础上根据热力一致性条件，推导出偶应力弹塑性理论增量形式。本文将此简化，给出了只含有一个材料内在特征长度的偶应力理论，当材料内在特征长度常数时，退化为传统弹塑性理论。
图1 D-P准则屈服面
Fig.1 D-P yield surface
李锡夔[6]等曾给出Drucker-Prager屈服准则下的Cosserat连续体模型。图1中为剪胀角。D-P准则可写如下形式
（1）
式中，，和为材料参数，称为D-P准则中的内摩擦角和粘聚力。
将式（1）中的不变量用和表示，可写成常见的形式
（2）
式（1）与式（2）之间的转换关系为
， （3）
内摩擦角和粘聚力之间的转化关系为
（4）
(5)
应变软化模型假定内摩擦角为常量，粘聚力发生软化，并且由共同反映这种软化，视为广义内聚力，其中值仍为常量，为软化模量，为软化系数。应变软化效应主要由项体现，项则给出了软化在梯度上的限制，则梯度塑性理论下的D-P屈服面可表示为
（6）
式中为材料内在特征长度，是根据问题性质来确定。
3含剪切带单元模型
有限元法中离散后的基本单元其内部是连续的、均质的，内部任一点的位移可通过单元节点位移的插值函数来表示。由于单元内部必须是连续的，因而边坡中所有不连续界面都不能横穿单元边界，而只能作为单元的一边(二维单元)或一面(三维单元)。当系统中所有不连续界面都是已知时，只要以这些界面为边界划分单元即可。为此，提出一个含剪切带单元模型。如图2所示，设想有一条厚度为的剪切带横穿单元，将该单元分成3个部分。第1部分和第2部分的弹性常数仍为，，没有发生软化，视为线弹性；第3部分为剪切带，在剪切带内，材料发生了弱化，弱化后的切向抗剪模量为，法向抗压模量为。
剪切带可能以图2(a)的形式穿过单元，也可能以图2(b)的形式穿过单元。以图2(a)为例，在弹性区(1)和(2)中均采取线性位移模式，在剪切带(3)中，只考虑法向位移和切向位移，并假设位移沿剪切带方向和厚度方向呈线性分布。将此单元的等效变形能和等效体积力功加入到整个系统中，像普通有限元一样变分求解节点位移列阵，即可得到该系统的解。
图2含剪切带单元模型
Fig.2 Element model containing shear band
3剪切带出现的判断及剪切带方向的确定
按照剪切带分岔和应变局部化理论，对于岩土一类摩擦材料，处于压剪状态时，若材料内应力超过材料的抗剪强度，材料就将出现剪切带，剪切带的方向[7-8]由下式确定：
（7）
式中：为剪切带与最大主应力(此处拉为正，压为负)的夹角，为内摩擦角，为剪胀角。对于完全正交关联流动，；对于塑性体积应变为0的流动，；而对于一般的非正交关联流动，。
4数值算例
为方便类比，取用文献[9]算例试算，图3所示是一个坡脚为的匀质土坡。材料参数为：弹性模量，泊松比，密度，粘聚力，内摩擦角。采用D-P软化法则计算，软化模量，材料内在特征长度。
(a)低密度网格 (b)高密度网格
图3 不同网格密度划分
Fig.3 Differ density finite element mesh
分别采用不同密度单元网格模型进行计算,如图3所示。经典有限元与梯度塑性有限元分析得到的载荷—位移曲线如图4和图5所示。图4 和图5在相同的位移下，用梯度塑性单元的荷载差值小，这显示了梯度塑性单元很好地改善了传统有限元分析应变软化问题中的网格依赖性。
假定其他条件不变，改变强度参数，来观察所得滑动面形迹的变化。图6和图7为分别改变内摩擦角和粘聚力所得到的边坡破坏面形迹比较图。由图6和图7可知，粘聚力,内摩擦角的改变对安全系数的影响较大，但对边坡破坏面形迹的影响并不明显。
图4 经典有限元载荷-位移曲线
Fig.4 Load-displacement curve of classical FEM 图5 梯度塑性有限元载荷-位移曲线
Fig.5 Load-displacement curve of gradient dependent plasticity
图6内摩擦角值对边坡破坏面的影响
Fig.6 Effect of the internal friction angle on the slope failure plane features
图7粘聚力值对边坡破坏面的影响
Fig.7 Effect of cohesion on the slope failure plane features
5结论
(1)应用梯度塑性理论与本文提出的含剪切带单元,在软化土体的边坡稳定计算过程中，可模拟得到从不同角度的剪切破坏时剪切带的分布，从而提出了解决剪切带计算中的网格依赖性问题的一种方法,为采用剪切带计算解决边坡稳定分析创造了条件。
（2）通过对剪切带形成的全过程进行分析,可以得到边坡滑移的规律和机理。并且边坡的滑动面形迹可以借助于含剪切带单元模型通过有限元自动追踪程序来实现。
(3)通过对比和试算，得到的结论显示，土体的内摩擦角和粘聚力参数的变化对潜在滑动面的形迹影响较小，但对抗滑动稳定的安全系数的影响较大。
参考文献
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[9]朱以文等，边坡稳定的剪切带计算 计算力学学报 2007，08 ：24（4）441-446