喷泉水流控制模型

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摘要: 本文运用物理学规律,以喷泉水流中的小水滴为模型来分析喷泉喷水速度、喷射最大水平距离和喷射高度之间的呃相互关系以及影响这些量的因素,从而实现对喷射高度和喷射最大水平距离的适当控制,达到行人能够看到赏心悦目的景象与被水淋湿之间可以接受的平衡。

关键词: 空气阻力系数;直流式喷头;matlab;曲线拟合

1.问题重述

在一个楼群环绕的宽阔的露天广场上,装饰喷泉把水喷向高空。刮风的日子,风把水花从喷泉吹向过路行人。喷泉射出的水流受到一个与风速计(用于测量风的速度和方向)相连的机械装置控制,前者安装在一幢邻近楼房的顶上。这个控制的实际目标,是要为行人在赏心悦目的景象和淋水浸湿之间提供可以接受的平衡:风刮得越猛,水量和喷射高度就越低,从而较少的水花落在水池范围以外。

现设计一个算法,随着风力条件的变化,运用风速计给出的数据来调整由喷泉射出的水流。空气阻力的计算公式为f=krv (k为空气阻力系数,r为水滴半径,v为水滴的速度,见参考文献【1】)。

2.问题分析

题目的关键就是要求喷出喷头的水流所能达到的最远距离与喷出水流的初速度及所测得的风速和风向之间的关系。因此,需要确定水珠为研究对象,分析水珠的运动情况。在空气中运动的小水珠,假定其形状为球形,它在空气中受到重力mg 、空气阻力和风的作用力作用(m为小水珠质量,g为重力加速度),这样,就可以建立力学模型来求解。查询资料可知:小水珠所受到的空气阻力与小水珠半径及其运动速度成正比,即:,为空气阻力系数,r为小水珠半径,v为小水珠速度(参考文献【1】【2】)

3.模型建立与求解

以竖直向上为z轴正方向,考虑一个喷头喷出的水流,设水流在水平面内投影为x轴,水平面内与x轴垂直的方向定为y轴(x轴、y轴、z轴构成右手系)

设喷头方向与x轴方向成角为β,则与z轴成角为β,记水流初速度为,则它在x轴β、

z轴分量β (1)

3.1 z轴方向的分析

在z轴方向上,水滴上升时受到两个力的作用:重力和空气阻力(如右图),则:

(为水珠在z轴方向上的瞬时速度)

从而可以求出:

对t积分,得到水珠在z轴方向的位移(3)

当=0时,水珠位于最高点,h=H 记此时时间为

则带入上式,可得:

同理可求得:下降时,

当小水珠落地时,水珠下降过程位移,从而得到:

水珠从喷射出去到落地所经历时间满足:

3.2 在水平方向上的分析(以x轴为例)

在x轴方向,小水珠只受一个风的作用力作用,用微元法分析:

设风速与x轴正方向成角为θ,取时间微元,空气密度记为ρ1,记所测当地风速为,风速在x轴方向上的分量=θ,时间内作用在水珠上的空气柱体积(其截面积为),其质量(6)

假设空气与水碰撞后动量可忽略不计,则风作用在水珠前后,二者总动量守恒定理:

其中是高为h处的风作用在水珠上使得水珠速度发生的变化

由(6)(7)知:

将(2)(4)分别带入上式,对两边积分有:

t时刻,水珠速度的x轴方向分量

为水流从喷嘴中喷出时的速度在x轴方向的分量

对t积分即得水流沿x轴方向喷射的距离

水流在Y轴方向偏移量也可同理求得,为

,这样,

水流喷射出去的距离

为了满足行人得到较好的观赏效果,要使得H尽可能的大;要使得行人淋到的水较少,需要使得这里淋到水池以外的水较少,这里设定L不得大于。这样,只需要求得L的最大值即可,而对于圆周行的喷泉来说,在与风向同向的方向上的水流的L是最大的,即此时=0,=

这样,我们就可以建立线性规划模型在测得的风速给定的情况下,解出使得H最大同时使得上述限制条件得到满足的,然后再用曲线拟合的思想求出随变化的函数关系式,从而达到控制水流的目标。

3.3建立非线性规划模型

由以上分析,很容易建立如下的线性规划模型:

(目标函数)

(关于水流最远距离的约束)

上述为水流由喷出到落地的总时间,由(5)式给出,即:

其他参数及常量说明:,小水珠质量

为小水珠半径,

为水的密度

为空气阻力系数,由文献【2】知其数值约为

为水射出时的初速度,是决策变量β为喷嘴方向与水平方向夹角

为引力常量,R为喷水池半径,是一个待定参数

为测得的当地的风速,是待测定的量

3.4取定待测参数值,求解上述规划问题

取β R=8.0m查询资料(文献【3】)知:喷泉喷嘴喷出的水流中水珠的直径与喷嘴形状有关,如下表:

这里,设喷头形式为直流式,则可取

然后依次取合理的风速值(即),用lingo软件求解上述规划模型,并记下最优解时的值,如下表:

用matlab对上述所求、的值做多项式拟合即可得到随变化的近似关系,如对这里的数据进行五次多项式拟合得到:

4.模型评价

本文在对喷水池喷水原理进行分析的基础上,利用动量定理解决了风速与风力的转变问题,分段考虑水滴上升与下降的不同情况,用积分处理了不同高度不同风速的问题,从而得到了最终求最大喷射高度为目标函数的线性规划模型。模型在内容上包含了喷泉喷射过程中的各个特点,得到的结果与实际露天广场上装饰喷泉情况相近;并且因为模型是建立在一个抽象的喷水池喷水上,因而适用于现实中的多种抽象问题中。

参考文献:

[1]谭金川,下落雨滴的终极速度漫议,物理教师,第25卷第1期:6-8页,2004年;

[2]孙大君,雨滴下落问题刍议,物理教师,第19卷第3期:22-23页,1998年;

[3]作者不详,水景及游泳池给水系统,222.66.109.20/jpke/gny/subject/

images/kjdb.ppt,2008年 8月 25日。