解析函数教学探析

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摘 要：解析函数是复变函数研究的主要内容，它具有重要的性质和广泛应用。如何透彻理解和掌握解析函数的相关概念和性质， 是学生在学习复变函数这门课程的关键所在，也是教师在教学过程中的重要工作。笔者透析了解析函数的相关概念、性质及应用，并阐述了如何在教学中贯穿这些内容的讲授。

关键词：复变函数；解析函数；调和函数；教学透析

中图分类号：G642.0 文献标识码：A 文章编号：1002-4107（2013）07-0023-02

复变函数课程是工科专业尤其是电子、计算机、机电等专业的必修课。它是高等数学课程的发展和延续，它将函数定义域的范围从高等数学里的实数域推广到了复数域。复变函数与实变函数之间有许多相似之处，但是又有许多不同之点。在学习过程中学生往往觉得复变函数比实变函数更抽象，原理、规律更加繁多。 加之教学安排课时往往比高等数学少得多，因此在课程结束后很多学生仍是一无所获。如何从根本上解决复变函数教学中的诸多类似问题，是教师需要解决的问题。

复变函数的主要内容是研究解析函数，这类函数有着重要的性质和广泛的运用。因此，如何透彻理解和掌握解析函数的相关概念和性质， 是学生学习复变函数这门课程的关键所在，也是教师在教学过程中的重要工作。针对工科学生，本文从以下几个方面透析了解析函数的相关概念、性质及应用，并结合本人在教学中的体验，阐述了如何在教学工作中贯穿这些内容的讲授。

一、理解解析函数的定义及判别

四、解析函数的级数性质

复变函数若在某个圆域或者圆环域内处处解析，那么该函数在圆域或者圆环域内任意一点的函数值，可以写成以圆（环）心为中心的级数形式。由函数不同的解析性，对应有泰勒级数或者洛朗级数。这章节对于很多学生来说是个难点。首先，在教学过程中要让学生能够确定函数展开所对应的中心点以及相应的圆（环）域，必须让他们知道函数在所确定的圆（环）域内是处处解析的。其次，必须记住一些基本解析函数的级数形式，能够套用这些公式解决一些复杂的函数。最后，需要了解收敛级数的一些基本性质，以此来解决更多的问题。级数是研究函数的有力工具，因此掌握并理解这部分内容对于我们透彻掌握解析函数尤为重要。

五、解析函数的保角性

复变函数从几何上来讲，可以解释为两个复平面内点集之间的变换。而由解析函数所构成的变换有着一些重要的特性。例如保角性，即：若函数在某一点解析，则过该点的任意两曲线的夹角在经过该函数映射后保持方向和大小不变。它在解决流体力学，弹性力学，电学等学科的一些实际问题中，都是一种使问题化繁为简的重要方法。对于工科学生，老师可以让他们自学这部分的知识，并通过实际问题的解决使学生觉得学有所用。

六、解析函数的应用