浅析“函数的极值”

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【摘要】本文阐述了函数极值的概念、存在条件及判定方法，并通过实例探析了极值的求法和应用.

【关键词】函数；极值；极值点；条件

一、函数极值的定义

1.定义

设函数y=f（x）在点x0的某个邻域内有定义，如果对于该邻域内的任意x（x≠x0）恒有f（x）>f（x0），则称f（x0）是函数f（x）的极小值，点x0是f（x）的极小值点；如果对于该邻域内的任意x（x≠x0）恒有 f（x）

函数的极大值与极小值统称为极值，函数的极大值点与极小值点统称为极值点.

2.定义的理解

（1）极值是函数值，极值点是自变量的取值，两者不能混淆.

（2）函数的极值是局部概念，它只是与极值点邻近点的函数值相比较而言，并不意味着它在所讨论的区间内最大或最小.

（3）函数的极大值不一定比极小值大，函数的极小值也不一定比极大值小.

（4）函数的极值只能在区间内部取得，不能在区间的端点处取得.

二、取得极值的条件

1.必要条件

定理1如果函数f（x）在点x0处有极值，且f′（x0）存在，则f′（x0）=0.

使导数为零的点（即方程f′（x0）=0的实根）称为函数f（x）的驻点.

定理1的理解：

（1）可导函数的极值点必是它的驻点，但反过来，函数的驻点不一定是它的极值点.例如x=0是函数f（x）=x3的驻点，但并不是它的极值点.因此，f′（x0）=0是函数f（x）在x0处取得极值的必要条件，而不是充分条件.

（2）在连续函数某些不可导的点处也能取得极值，因此在求函数极值的时候也要考虑这些不可导的点.例如，f（x）=|x|在点x=0处有极小值f（0）=0，而在点x=0处f（x）=|x|不可导.

2.充分条件

定理2（极值第一判定法）设函数f（x）在点x0处连续，且在点x0的去心邻域内可导，若在该邻域内

（1）如果f（x）在x0 两侧的导数符号满足“左正右负”，那么函数f（x）在点x0处取得极大值f（x0）；

（2）如果f（x）在x0两侧的导数符号满足“左负右正”，那么函数f（x）在点x0处取得极小值；

（3）如果f（x）在x0 两侧的导数符号不变，f′（x）的符号相同，那么函数f（x）在点x0处没有极值.

定理3（极值第二判定法）设函数f（x）在点x0处的二阶导数存在，且f′（x0）=0，f″（x0）≠0，则

（1）如果f″（x0）

（2）如果f″（x0）>0，那么函数f（x）在点x0处取得极小值f（x0）；

（3）当f″（x0）=0时，不能判定x0处极值是否存在，此时应该运用第一判定法.

三、极值的求法

1.求函数极值的步骤

（1）确定函数f（x）的定义域.

（2）求函数f（x）的导数f′（x）. 令f′（x）=0，求出全部的驻点和f′（x）不存在的点.

（3）用驻点和导数不存在的点顺次将函数的定义域分成若干子区间，列表讨论每个子区间f′（x）的符号，确定极值点，求出函数的极值.

2.应用举例

【参考文献】

[1]谭杰锋，高温.21世纪高职高专规划教材《高等数学》.2011.

[2]王洪涛.函数极值在经济管理中的应用.山东广播电视大学学报，2011（2）.

[3]薛婷.关于一元函数极值求法的几点思考.考试周刊， 2011（52）.