由一条联考题而引发的一堂高三数列复习探究课
开篇：润墨网以专业的文秘视角，为您筛选了一篇由一条联考题而引发的一堂高三数列复习探究课范文，如需获取更多写作素材，在线客服老师一对一协助。欢迎您的阅读与分享！
2010年江苏泰州期末联考数学试卷中有这样一道试题：
已知数列｛an｝和｛bn｝，对一切正整数n,都有：a1bn+a2bn-1+a2bn-1+a3b{n-2}…+anb1=3n+1-2n-3成立.
（1） 如果数列｛bn｝为常数列，且bn=1，求数列｛an｝的通项公式；
（2） 如果数列｛an1｝的通项公式为an=n,求证数列｛bn｝为等比数列.
（3） 如果数列｛bn｝为等比数列，数列｛an｝是否为等差数列？如果是，求出这个数列的通项公式；如果不是，请说明理由.
这道题全面考查了数列这一章的基本知识和基本方法，是一道由浅入深，由易到难，逐步递进的一道好题.同时这道题对学生数学能力的考查也很到位，为了讲授好这道题，又恰逢笔者在全校开设一堂数列一轮复习公开课，笔者以这道题为载体，设计了一堂数列复习探究课，后经实践证明，教学效果较好，学生普遍都能接受和应用.
1. 教学过程简录
1.1 基本问题：再现知识，夯实“基础”
教师：在数列｛an｝中，如何由sn求aan？
学生1：运用a=s1 n=1
sn-sn-1n≥2求解，然后检验a1是否满足a(n≥2)，若满足，合起来写；不满足，则写成分段的形式.
教师：很好.请看下面的问题：
问题1 已知数列｛an｝中a1+a2+a3+…+an=3n+1－2n－3,求a；
大家能根据学生1给出的结论解决这个问题吗？
学生众：能.
学生2：等式的左边a1+a2+a3+…an就是sn,这道题的解法就是直接结论a=s1 n=1
sn-sn-1 n≥2运用来解.
当n=1时，a=32－2－3=4；
当n≥2时，an=sn－sn-1=2・3n－2；
检验a满足a(n)(n≥2)， a=2・3n－2.
教师：太棒了.这道题的本质仍然是由s求a型，假如我们把等式的左边由单一变为复合型呢？假如说改为乘积的形式呢？
1．2 探究过程：解决问题，获取能力
请看变式1：已知数列｛an｝中3a1+32a2+33a3+…+3nan=3n+1－2n－3（n∈N*）求a；
学生众（经过思考、讨论）后发现：如使用换元法将3nan换成bn，等式的左边3a1+32a2+33a3+…+3nan即为b1+b2+b3+…+ bn形式也就是sn，仍然使用a=s1 n=1
sn-sn-1 n≥2求解，思路豁然开朗.
学生3：令bn=3nan；由①②可知：b=2・3n-2，即a=2-23n.
教师：此题虽然形式上发生了很大的变化，但等式的左边本质是和的形式，故仍然可以使用由s求a型方法求解.上面的问题中，变量n的变化是同步进行的，若n的变化交替进行，请看下面的问题：
变式2：已知数列｛an｝和｛bn｝，对一切正整数n,都有：a1b1+a2bn-1+a3bn-2+…+anb1=3n+1-2n-3成立.如果数列｛bn｝为常数列，且bn=1，求数列｛an｝的通项公式.
学生4：此题虽然an，bn中两个n同时变化，但因为bn=1是一个常数列，实际上只需考虑一个n变化，即a1+a2+a3+…+an=3n+1－2n－3；由问题1的解法可知an=2・3n－2.
教师：太好了.这位同学很善于观察，发现了问题中的变量与不变量，从而发现本题经过简单处理就是问题1.
探究1：若bn=n,求证：数列｛an｝成等比数列.
学生埋下头去思考，讨论；3分钟后，有学生有所感悟，好像发现了什么，但表情仍在思考的样子.教师适时提示启发：从前面的问题中得到什么启发？
从n个式子和到一个式子，从无限到有限，从有省略号到消去省略号，都是利用了an=sn－sn-1(n≥2),这种方法也叫迭代法，对本题有什么启示？
学生5：若有所悟：na1+(n－1)a2+（n－2）a3+…+2an-1+an=3n+1-2n-3……①
n≥2时 (n－1)a1+(n－2)a2+（n－3）a3+…+2an-2+an-1=3n－2(n－1)－3……②
由①－②可得：a1+a2+a3+…+an=2・3n－2.
看到此式，他终于恍然大悟，原来又回到了s=2・3n－2；再一次使用an=s1 n=1
sn-sn-1 s≥2 求解；
当n=1时 a1=4
当n≥2时 an=sn-sn-1=4・3
检验检验a1满足an(n≥2)； an=4・3n-1；
n≥2， anan-1=3 数列｛an｝成等比数列.
到这儿，大多数同学终于明白了这道题的思路，大家情绪异常高兴，教师趁热打铁，思考探究2：若数列｛bn｝的通项公式为bn=3n，求证：数列｛an｝成等差数列.
学生马上又投入到紧张的思考之中，教室里鸦雀无声.五分钟后，陆续有同学抬起头来，但大多数同学仍紧皱眉头，苦思冥想，老师适时点拨：
3na1+3n-1a2+3n-2a3+…+33an-1+3an=3n+1-2n－3……①
当n≥2时,用n-1代n得：
3n-1a1+3n-2a2+3n-3a3+…+32an-2+3an-1=3n－2(n－1)－3……②
教师：能用①－②解决吗？
学生众：不能.
学生6：①－②起不到化简的作用，反而越减越繁.
教师：讲得很有道理.既然相减不能解决问题，我们再观察一下两式的结构特点，能不能从结构上找到两式的相似之处，从而找到解决问题的方法.
学生7：两式的系数存在倍数关系 .
教师：观察很仔细，能否抓住这一特征找到突破口呢？
学生7：可以将①－②×3就可以.
教师：太棒了，说下去.
学生7：当n≥2时 3a=（3n+1－2n－3）－〔3・3n－6(n－1)－9〕
=－2n－3+6n－6+9
=4n
即an=43n经检验a也满足.
至此这道题才得以圆满解决，学生们长长地嘘一口气，课堂气氛达到了高潮.
1.3 编题练习;提升能力，发展思维
教师：若数列｛bn｝的通项公式为bn=3n，则数列｛an｝成等差数列.同学们能否发挥想象，开动脑筋，在此基础上，由特殊到一般，进行归纳推理，自编一道题呢？
学生8：我的想法是：运用归纳推理的思想，把题目条件推广到一般情况，结论是否成立呢？即：若数列｛bn｝成等比数列，那么数列｛an｝一定成等差数列吗？
教师：学生8的想法很有创意，我把学生8的想法编为具体的题目是：
探究3：若数列｛bn｝成等比数列，那么数列｛an｝是否成等差数列？如果是，求出这个数列的通项公式；如果不是，请说明理由.
教师：当然，同学们还可以编出很多问题，比如说有探究1是否可以进行推广，请同学们课后继续研究.下面请同学们解决这个问题.（3分钟后学生回答）
学生9：因为｛bn｝成等比数列，设｛bn｝的首项为为b1，公比为q；
a1bn+a2bn-1+a3bn-2+…+an-1b2+anb1=3n+1-2n-3……①
当n≥2时a1bn-1+a2bn-2+a3bn-3+…+an-1b1=3n－2(n－1)－3……②
由①－②×q得a=(3-q)3n-2n(1-q)-(3-q)b1
若q=3时an=4nb1通项公式是关于n的一次函数，所以数列｛an｝成等差数列.
若q≠3时 因为a2-a1≠a3-a2,所以数列｛an｝不成等差数列.
教师：同学们既能编题也能解题，体现了较高的数学素养.请同学们谈谈这一节课学习之后的感受.
1.4 体验过程：完善学生认知，发展是自学能力
学生8：想不到我也会编题.
学生10：这节课运用了迭代法，等差等比数列的判定方法以及数列中定值问题的处理方法.
……
教师：请同学们将这节课从知识到方法做出归纳和总结.
2. 课后反思
传统的数学复习课教学模式往往是知识归纳―例题讲解―反馈练习；一进入课堂就是数学知识（方法）归纳，把知识强塞给学生，学生对为什么进行数学知识归纳感到茫然，似有被老师牵着鼻子走的感觉.本节课一开始就通过由由sn求an这一简单知识入手引出问题1，在解决问题时自然唤起学生对基础知识、基本技能、基本方法的回顾，充分体现“学数学就是做数学”的理念，然后在问题的基础上层层推进，通过问题的精巧设计，让学生在新的问题情境中，运用观察、猜想、归纳、验证等方法解决问题.在问题的解决中获得新知、获取能力.随着问题的逐渐深入，学生在一个个问题的解决中，逐渐体验到数学问题的紧密联系，从而进一步完善认知结构，学生在解决老师给出的这些有联系的问题的同时，受到潜移默化的影响；当教师要求学生当一回小老师，也来编一道题时，同学们都跃跃欲试，同学们经过猜想，教师加以总结，新的探究问题就产生了，探究3就是学生的精彩“杰作”.如果我们长期坚持这样做，学生的创造潜能一定会得到充分发展.