疑难点解析

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从内容上看，主要考查对定义、定理的深刻理解，对符号语言、图形语言、文字语言进行转换；从能力上看，主要考查考生的空间想象能力和逻辑思维能力。

（1）几何体的结构特征以及以几何体为载体的线线、线面、面面间的平行或垂直位置关系的判断；

（2）几何体的表面积与体积的求解。

【例1】如图，已知正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长是2，D，E是CC1，BC的中点，AE=DE.

（1）求此正三棱柱的侧棱长；

（2）正三棱柱ABCA1B1C1的表面积.

分析（1）证明AED为直角三角形，然后求侧棱长；（2）分别求出侧面积与底面积。

解（1）设正三棱柱的侧棱长为x，ABC是正三角形，AEBC，

又底面ABC侧面BB1C1C，在RtAED中，由AE=DE，得1+x24=3，

解得x=22，即正三棱柱的侧棱长为22.

（2）S=S侧+S底=3×2×22+12×3×2×2=122+23.

点拨求表面积应分别求各部分面的面积，所以应弄清图形的形状，利用相应的公式求面积，规则的图形可直接求，不规则的图形往往要再进行转化，常分割成几部分来求。

【例2】如图，四边形ABCD为矩形，AD平面ABE，AE=EB=BC=2，F为CE上的点，且BF平面ACE.

（1）求证：AEBE；

（2）求三棱锥DAEC的体积；

（3）设M在线段AB上，且满足AM=2MB，线段CE上是否存在一点N，使得MN∥平面DAE.

分析（1）由AD∥BC和AD平面ABE可证得AEBC，再由BF平面ACE得AEBF，根据线面垂直的判定定理证出AE平面BCE，即证出AEBE；

（2）由题意知AD平面ABE，则过E点作EHAB，得到EH平面ABCD，再根据条件求出EH和AB，利用换底求出三棱锥的体积；

（3）根据条件分别在ABE中过M点作MG∥AE和BEC中过G点作GN∥BC，根据线面平行的判定证出MG∥平面ADE和GN∥平面ADE，由面面平行的判定证出平面MGN∥平面ADE，则得到N点在线段CE上的位置。

解（1）证明：AD平面ABE，AD∥BC，

BC平面ABE，则AEBC，又BF平面ACE，AEBF，

BC∩BF=B，AE平面BCE，且BE平面BCE，AEBE.

（2）过E点作EHAB，垂足为H，AD平面ABE，ADEH，

EH平面ABCD，

AE=EB=2，AB=22，EH=2，

VDAEC=VEADC=13×12×22×2×2

=43.

（3）在ABE中过M点作MG∥AE交BE于G点，

在BEC中过G点作GN∥BC交EC于N点，连MN，

AM=2MB，CN=13CE，

MG∥AE，MG平面ADE，AE平面ADE，

MG∥平面ADE，同理可证GN∥平面ADE，

MG∩GN=G，平面MGN∥平面ADE，

又MN平面MGN，MN∥平面ADE，

N点为线段CE上靠近C点的一个三等分点.

点拨（1）立体几何中证明线线垂直往往是通过线面垂直实现的，即证明两条直线中的一条直线垂直于另一条直线所在的平面，根据直线和平面垂直的定义，从而得这两条直线垂直，注意解决这类问题要运用转化策略，即“线线垂直线面垂直面面垂直”。

（2）三棱锥在立体几何中的作用类似于三角形的平面几何中的作用，三棱锥可以以其中任何一面作为底面，因此在求体积时可以根据情况交换三棱锥的顶点，达到简化解题的目的。这个三棱锥的体积也可以转化为三棱锥BACE的体积，从而转化为三棱锥CABE的体积。

（3）这是一道探索性的试题，解决这类问题的基本思路为“在假设存在的前提下通过推理论证，如果能找到符合要求的点，就肯定这个结论，如果在推理论证中出现矛盾，就说明假设不成立，从而否定这个结论”，证明线面平行，也是一种转化思想，即“线线平行线面平行面面平行”。空间向量

空间向量为处理立体几何问题提供了新的视角。在建立了空间直角坐标系之后，我们就可以使用坐标表示相关的向量，那么线面关系的逻辑推理就转化为相应直线的方向向量和平面的法向量之间的坐标运算，用代数运算代替了空间线面关系严密的逻辑推理，使证明与运算过程具有程序化。

用空间向量解决立体几何问题的步骤：

（1）根据几何体的结构特征，建立合理的空间直角坐标系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，建立立体图形与空间向量之间的联系，从而把立体几何问题转化为向量问题；

（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的平行与垂直关系以及它们之间的距离和夹角等问题；

（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。

【例3】如图，四棱锥PABCD的底面ABCD是正方形，侧棱PD底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点.

（1）证明：PA∥平面EBD；

（2）在棱PB上是否存在点F，使PB平面EFD？证明你的结论；

（3）在（2）的条件下，求二面角PDEF的余弦值

分析（1）以D为坐标原点，DA，DC，DP方向分别为x，y，z轴正方向建立空间坐标系，连接P与底面ABCD的中心G点，分别求出PA，EG的方向向量，易判断两个向量平行，进而根据线面平行的判定定理得到PA∥平面EBD。也可以用PA的方向向量与平面EBD的法向量互相垂直。

（2）设PF=λPB，利用PBDE，PBDF转化为方程解的存在性。

（3）分别求出平面PDE与平面