函数图象让我解题更轻松
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一般地,研究一个新的函数往往是从它的图象开始的,因为图象能直观反映出函数的所有性质。在解与函数有关的问题时,倘若我们将原问题转化为基本函数问题,并联想到基本函数的图象,那么往往能迅速找到解题途径。
一、 利用图象研究函数的单调性
【例1】 求函数f(x)=x2-4|x-1|的单调增区间是,单调减区间是．
分析 根据定义域的意义去掉绝对值,将函数化为分段函数,再通过作图象求得单调区间。
解 将函数化为f(x)=x2+4x-4 x＜1,
x2-4x+4 x≥1.
=(x+2)2-8 x＜1,
(x-2)2 x≥1.
画出函数f(x)的图象(如图),
观察图象得函数递增区间为［-2,1］,［2,+∞),
递减区间为
(-∞,-2］,［1,2］．
点评 图象实质是函数的一种直观表示,通过它的图象可以直观地看出函数的单调区间,所以能够转化为图象的尽可能转化为图象表示,但在画图时要特别注意一些关键点,如分界点、对称点、转折点等。
二、 利用图象确定函数的最值
【例2】 对于a,b∈R,记max|a,b|=a a≥b
b a＜b,
函数f(x)=max||x+1|,|x-2||(x∈R)的最小值是．
分析 由于给出函数解析式的方式比较独特,所以直接求其最值较为抽象,难于思考,因此可以考虑利用函数的图象来研究。
解 令y1=|x+1|,y2=|x-2|,在同一坐标系中分别作出其图象,如图所示,根据题设知,函数f(x)的图象由图中的射线PA、PB构成,
由y=-x+2
y=x+1,解得y=32,即为函数的最小值.
点评 本题主要考查函数的最值及数形结合的思想方法,同时考查同学们的阅读迁移能力。函数的所有性质都可以由它的图象直观表示出来,所以在求解函数的最值时,可以先作出函数的图象,然后借助于图象得到函数的最值。
三、 利用函数图象比较大小
【例3】 已知f(x)=ax(a>1),g(x)=bx(b>1),当f(x1)=g(x2)=2时,有x1>x2,则a,b的大小关系是.
分析 在同一坐标系中,分别作出两个底数大于1的指数函数的图象,然后根据已知条件确定函数f(x),g(x)的图象分别是哪个,再作出直线x=1,则该直线与二图象交点的纵坐标即为底数a,b的值,观察图形,可知它们大小。
解 在同一坐标系中,作出两个底数大于1的指数函数的图象,如图所示．
作直线y=2,由x1>x2,可知函数f(x),g(x)的位置如图所示.作直线x=1,则它与两个图象交点的纵坐标便分别是它们的底数a,b,观察图形,可得a
点评 指数函数y=ax(a>0且a≠1)的图象恒过(0,1)点,作出直线x=1,它与y=ax交点的纵坐标,即为对应的指数函数的底数,靠上的点对应的纵坐标大,故其对应的指数函数的底数也较大。因此,作出一组指数函数图象,在y轴右侧从上而下底数是不断减小的,左侧正好相反。
四、 利用函数图象确定函数的奇偶性
【例4】 从函数的奇偶性看,函数f(x)=x2-2x+2 x＞0,
0 x=0,
-x2-2x-2 x＜0.是函数．
分析 本题函数f(x)是一个分段函数,根据奇偶性的定义判断容易出错,需分类进行判断,其过程较繁,因此可以通过函数的图象来判断。
解 函数的定义域为R,关于原点对称．
作出函数f(x)的图象,如图．
观察图象可知函数f(x)的图象关于原点对称,所以函数为奇函数．
点评 利用图象判断函数的奇偶性比较直观,但有时不够严谨,因此在解答填空题时画图分析,而在做解答题时一定要用定义法来判断。
五、 利用函数图象讨论方程根的个数
【例5】 已知关于x的方程|log3x|=a,讨论a的值来确定方程根的个数．
分析 将方程问题转化为函数问题,再通过讨论函数图象的交点个数来确定方程根的个数。
解 因为y=|log3x|=log3x(x>1)，
-log3x(0
在同一直角坐标系中作出函数与y=a的图象,如图可知：①当a
②当a=0时,两个函数图象有一个公共点,所以原方程根的个数为1个；
③当a>0时,两个函数图象有两个公共点,所以原方程根的个数为2个．
点评 构造函数,作出图象,交点直观显现,原方程根的个数也就一目了然了。
六、 利用函数图象速解含参恒成立问题
【例6】 已知a>0且a≠1,当x∈(-1,1)时,不等式x2-ax
分析 本题可转化为在同一坐标系中研究y1=ax,y2=x2-12,对x∈(-1,1)的图象的位置关系。
解 不等式x2-axx2-12
画出y1=ax,y2=x2-12的图象(如右图)．
由图可看出:12≤a
点评 对一些不等式两边的式子,函数模型较明显、函数图象较容易作出的。可以考虑作出函数图象。用函数图象的直观性解决不等式或方程恒成立的问题,也非常容易得到意想不到的效果。
实战演练
1. 若曲线|y|=2x+1与直线y=b没有公共点,则b的取值范围是．
2. 若a>b>1,m=a+lgb,n=b+lga,则m与n的大小关系为.
3. 已知函数f(x)=2x,x≥2,
(x-1)3,x＜2.若关于x的方程f(x)=k有两个不同的实根,则实数k的取值范围是．
4. 若1＜x＜3,a为何值时,x2-5x+3+a=0有两解、一解、无解？
没有大胆的猜测，就做不出伟大的发现。――牛顿
【参考答案】
1. ［-1,1］ 分别作出两个函数的图象,通过图象的交点个数来判断参数的取值范围.曲线|y|=2x+1与直线y=b的图象如图所示,由图象可得：如果|y|=2x+1与直线y=b没有公共点,则b应满足的条件是b∈［-1,1］．
2. m>n 构造函数f(x)=x-lgx,在同一坐标系中分别作出函数y=x,y=lgx的图象,如图所示．
观察图象,不难发现当x>1时,随着x的增大,x-lgx的值也增大,所以函数f(x)=x-lgx在区间(1,+∞)上是增函数,
因为a>b>1,所以a-lga>b-lgb,
所以a+lgb>b+lga,即m>n．
3. (0,1) 函数f(x)的图象如图所示：
由图可知0
4. 原方程化为：
a=-x2+5x-3,①
作出函数y=-x2+5x-3(1＜x＜3)的图象如图,
显然该图象与直线y=a的交点的横坐标是方程①的解,由图可知：当3＜a＜134时,原方程有两解；当1＜a≤3或a=134时,原方程有一解；当a＞134或a≤1时,原方程无解．