抛物线高考题归类解析

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摘 要：抛物线是解析几何重要的一支曲线，在高考中占有很大的比重。2010年有关抛物线的题目共有13道，其中解答题有四道，选择题和填空题有九道。命题形式多样，灵活多变，现就2010年全国各省市高考试题中（理科）抛物线考题归类解析。

关键词：抛物线；曲线

中图分类号：O12 文献标识码：A 文章编号：1009-0118（2012）-03-0-02

一、取值范围

例1（全国Ⅰ卷15题）直线=1与曲线=||+有四个交点，则的取值范围是 。

解：如图，作出=||+的图像

当≥0时，=+即

当

若使=1与其有4个交点,则需满足

在人类用智慧架设的无数座求解问题的金桥中，数形结合是其中璀璨的一座。本题完美体现了数形结合思想。

例2（天津卷16题）设函数（）=1,对任意∈[，+∞〕，4 （）≤ （1）+4（）恒成立，则实数的取值范围是 。

解：由题意得：（）14（1）≤（1）1+4（1）恒成立

即（41）+2+3≤0恒成立

即41≤恒成立

g（）==在[，+∞）上是增函数，

故当且仅当41≤g（）即可，解得≤或≥

本题综合考查了函数与不等式的有关性质和解法。

二、求P的值

例3（全国II卷15题）已知抛物线C：=2（>0）的准线为L，过M（1,0）且斜率为的直线与L相交与点A，与C的一个交点为B，若，则= 。

解:由题意得，过M（1,0）且斜率为的直线为=（1）,则A（，（1）0设B（，）。

M为AB中点

+=2 （1）+=0

即 =2+ =（+1）

代入=2（>0）

3（+1）=2（2+）

即+412=0

=2或=6（舍去）

本题又是数形结合的完美体现。

例4（陕西卷8题）已知抛物线=2（>0）的准线与圆+67=0相切，则的值为

A． B.1 C，2 D，4

解：抛物线=2（>0）的准线为=，圆+67=0即（3）+=16,则圆心为（3,0），半径为4：

又抛物线=2（>0）与圆+67=0相切

3+=4

解得=2

本题考查抛物线中的几何量和直线与圆的位置关系.

三、点到准线的距离

例5（重庆卷14题）已知以F为焦点的抛物线=4上的两点A、B满足，则弦AB的中点到准线的距离为 。

解：依题意，设直线AB的方程是=+1，A（，），B（，）代入抛物线方程得44=0 +=4，=4

又

0=，=3，=，（4）=（+）=4=

弦AB中点到准线的距离为d=+1=+1

=+1

=+1

=

本小题主要考查抛物线的定义，性质以及处理直线与曲线的位置关系的一般方法，定比分点坐标公式等。

例6（浙江卷13题）设抛物线=2（>0）的焦点为F，点A（0，2）。若线段FA的中点B在抛物线上，则B到该抛物线准线的距离为 。

解：抛物线的焦点坐标为（，0），线段FA的中点B的坐标为（，1）代入抛物线方程得1=2解得：=

B点坐标为（，1）。

故点B到抛物线准线距离为d=+=

四、点与点的距离

例7（辽宁卷7题）设抛物线=8的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PAl，A为垂足。如果直线AF的斜率为，那么 |PF|= 。

（A）4 （B）8 （C）8 （D）16

解：由抛物线的定义得，|PF|=|PA|

又

PAF是等腰三角形

PF=AF==8

本小题主要考查了直线的倾斜角与斜率的关系.，抛物线的定义，准线方程的求法，以及直线与抛物线的位置关系，体现了在知识交汇点出命题的原则。

五、图像

例8（安徽卷6题）设>0，二次函数（）=+b+c的图象可能是

解：若>0，b

则对称轴=>0

函数的图像与轴的交点（c，0）在轴下方，故选c

本小题考查了函数的图像和性质。解题的关键是正确认识，b，c与函数图像的关系

六、解答题

今年高考共有四道解答题分别是：全国Ⅰ卷21题、江西卷21题、湖北卷19题、湖南卷20题。全国Ⅰ卷21题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系、平面向量的数量积等知识，提高运算求解能力和分析问题的能力。江西卷21题主要考查抛物线与椭圆的方程、几何性质以及直线与圆锥曲线的位置关系。由于篇幅所限，这几题不再解析。