对“幂指函数”的讨论

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在高等数学的学习中,通常我们将函数y=u(x)v(x)称为幂指函数. 显然,该函数既不是幂函数也不是指数函数,但初学者由于受思维惯性的影响,却经常将其当作幂函数与指数函数进行处理,从而在学习中造成不必要的困惑.为了将函数的学习更好的进行下去,有必要将幂指函数作进一步的讨论.本文主要讨论幂指函数的求导与求幂指函数的极限两方面。

一、 对求幂指函数极限的讨论

引理若■f(x)=a,g(u)在a点连续,则■g(f(x))=g(■f(x))=g(a).

证明:因为■g(u)=g(a),则任意给定ε>0,总存在η>0, |u-a|0,使得当|x-a|

定理若■u(x)=a>0, ■v(x)=b,则■u(x)v(x)=[■u(x)]■

证明:设u(x0)=a,v(x0)=b,则■u(x0)=u(x0),■v(x)=v(x0), v(x)lnu(x)在x0点连续,即u(x)v(x)在x0点连续.所以 ■u(x)v(x)=u(x0)v(x0)=ab=[■u(x)]■

以上两个结论当xx■,xx■,x+∞,x-∞,以及x∞时也都成立.

推论若■an=a>0,■bn=b,则 ■bnan =[■an]■=ab

证明:x=a>0时lnx连续,且■lnx=lna.设数列{an}的极限为a ,则■lnx=lna,于是■bnlnan=blna,而eu在u0=blna处连续.所以■eu=eu0.设数列{un=bnlnan }(n=1,2,3…),则有■eun=eu0,即■anbn =■ebnlnan=eblna=ab =[■an]■

例1.求 ■(1+sinx)cotx

解: ■(1+sinx)>0,■(1+sinx)cotx=■(1+sinx)■]cosx =

[ ■(1+sinx)■]■=e1=e

例2.求下列极限

(1)■(■) 2x-1 (2) ■(1+■+■)n

解:(1) ■(■) 2x-1 = ■(1+■) ■ ] ■= ■(1+■) ■ ]■=e2

(2)■(1+■+■) n = ■(1+■) ■ ] ■= ■(1+■) ■ ] ■=e1=e

下面用常规方法解决以上两个例题.

(1)原式=■(1+■) ■=■■=■=e2

(2) (1+■)n

■(1+■)■=e, ■(1+■)■=■(1+■)■■(1+■)■=e×1=e.

比较以上两种求极限的方法不难发现,用定理及其推论求幂指函数u(x)v(x)及其幂指数列{anbn}的极限,的确灵活方便且不易出错.

二、对幂指数求导的讨论

下面分别给出一元、二元、 n元幂指函数的求导法则.

法则1 设f(x)、g(x)均可微,则幂指函数f(x)g(x)的导数等于将f(x)g(x)视为指函数求导与将f(x)g(x)视为幂函数求导的和.

即[f(x)g(x)]'=f(x)g(x)g'(x)lnf(x)+g(x)f(x)g(x)-1f'(x)

证明: [f(x)g(x)]'=[ef(x)lnf(x)]'=eg(x)lnf(x)・[g(x)lnf(x)]'

=f(x)g(x)[g'(x)lnf(x)+■f'(x)]