圆锥曲线又一个统一的几何性质

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湖北阳新高级中学 435200

摘要：本文介绍了圆锥曲线的又一个统一的几何性质. 不难看出《圆锥曲线“和谐”新观点》一文中的四个结论分别是本文所阐述的四个定理中当点F为焦点、点N为对应准点时的一个特例. 另一方面，可以说本文是《圆锥曲线的一个优美性质》的姊妹篇.

关键词：圆锥曲线；统一；几何性质

笔者在研究圆锥曲线时，发现了圆锥曲线的又一个统一的几何性质，现介绍如下.

定理1 OX是顶点为O的抛物线的对称轴，点N，F在该对称轴上且分别在点O两侧，OF=ON，过点N的直线交抛物线于A，B两点，则∠AFN=∠BFX.

证明 设OF=ON=d，建立直角坐标系如图1所示，则抛物线的方程为y2=2p・（x+d），即y2=2px+2pd①. 又直线AB过点N（－2d，0），故可设直线AB方程为： x=my－2d②. 把②代入①化简得y2-2pmy+2pd=0③.

[y][x][F][O][N][A][B]

图1

设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1，y2是方程③的两个根，由根与系数的关系得y1+y2=2pm，y1y2=2pd，所以kFA+kFB=+=，把点A，B的坐标代入②得x1=my1－2d，x2=my2－2d，所以

y1x2+y2x1=y1（my2－2d）+y2（my1－2d）

=2my1y2－2d（y1+y2）

=2m・2pd－2d・2pm=0，

故kFA+kFB=0，

即tan∠AFX+tan∠BFX=0，故tan（π－∠AFN）+tan∠BFX=0，故tan∠AFN=tan∠BFX，故∠AFN=∠BFX.

定理2 OX是中心为点O，长轴长为2a，短轴长为2b的椭圆的对称轴，点N，F在该对称轴上且在点O的同侧，OF=d（d

证明 建立直角坐标系如图2所示，则椭圆的方程为：+=1①.

[B][y][A][N][F][O][x]

图2

因为FN=ON－OF=，所以直线AB过点N-

，0，故可设直线AB的方程为： x=my－②. 把②代入①可得：b2my-

2+a2y2－a2b2=0，

化简得：d2（a2+b2m2）y2－2a2b2mdy+a2b2・（a2－d2）=0③.

设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1，y2是方程③的两个根，由根与系数的关系得

y1+y2=，y1y2=，

故kFA+kFB=+=，把点A，B的坐标代入②得

x1=my1－，x2=my2－，所以，

y1x2+y2x1=y1my2－

+y2my1－

=2my1y2－（y1+y2）

=－・=0，

故kFA+kFB=0，即tan∠AFX+tan∠BFX=0，故tan（π－∠AFN）+tan∠BFX=0，故tan∠AFN=tan∠BFX，故∠AFN=∠BFX.

同理可证明如下的定理3.

定理3 OX是中心为点O，实轴长为2a，虚轴长为2b的双曲线的对称轴，点N，F在该对称轴上且在点O的同侧，OF=d（d

若把上述三个定理中的点F，N分别称为“类焦点”和相应的“类准点”，综合上述三个结论，可得圆锥曲线的一个统一的几何性质，如下：

定理4 圆锥曲线的一个类焦点为F，对应类准点为N，过点N的直线交曲线于A，B两点，则直线FA，FB与曲线的对称轴FN所成的角相等.

特别地，当A，B两点重合于一点M时，直线NM与圆锥曲线相切于点M，此时MFNF. 故有如下结论：

定理5 圆锥曲线的一个类焦点为F，对应类准点为N，过点N的直线与曲线相切于点M，则MFNF.

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