巧用课堂典型错误 提高课堂教学效率
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在课堂教学中，学生经常会出现大量的错误：对解法的混淆运用；对结论的以偏概全；对概念理解的一知半解……其中，许多的错误真实记录了学生数学思维的过程.教师若能随机应变，巧妙地利用这些“错误”，变废为宝，则不仅可以帮助学生从错误中走出来，更能引导学生积极进行自我反思与归类，从而有效提高数学学习能力.本文结合笔者在课堂教学中遇到学生出现错误时的处理方法加以阐述.
1 将错就错——让错误彰显精彩
科学家波普尔说过：错误中往往孕育着比正确更丰富的发现和创造因素.学生在数学学习中出现错误是不可避免的，同时课堂上发生的错误也并非一文不值：它往往能暴露学生的真实想法，反映学生的思维过程，包含着有价值的成分.教师若能善于发现错误背后隐藏的价值，巧用典型错误，则能让课堂妙趣横生，彰显精彩.
2 巧设陷阱——让错误激发反思
英国心理学家贝恩布里奇说：错误人皆有之，作为教师不利用是不可原谅的.因此，教师可以有意识地选择一些学生极易出错的题目，设置“陷阱”，让学生陷入歧途，产生思维冲突，从中可以诱导出学生在认知中的错误或片面观点，有助于教师及时捕捉、弄清教学对象的认知特点，采取有效的教学措施，使课堂教学更具有针对性.
k =？.
两种解法出现了两个答案，所以就提出了这样的问题：是学生乙出现了增根？还是学生甲漏解了呢？如果说学生乙出现了增根，那么哪一步会造成增根呢？如果说学生甲漏解了，那么他这样做的漏洞在哪呢？
要解决这个问题，不免会想到这个函数的图象是什么，学生乙求出来的这两条直线是否是真的切线？其实直线与曲线相切时交点未必只有一个，所以这个交点就未必是切点了.学生甲的漏洞就在这里，即原点未必是切点.所以，我们得到这样一个结论：直线与曲线有一个交点是直线与曲线相交的既不充分又不必要条件.
“切线”对学生来说是一个很熟悉的词，因为初中时就已经接触了圆的切线，那时我们得到直线与圆相切的一个充要条件是直线与圆只有一个交点；等我们学了圆锥曲线后我们又发现对于双曲线、抛物线，如果直线与它们只有一个交点未必就是切线，但是切线与曲线确实只有一个交点；但是今天我们又得到了这样一个结论：直线与曲线有一个交点是直线与曲线相交的既不充分又不必要条件.那么就有另外一个问题：到底什么是切线呢？切线的定义是用极限来描述的：在曲线的某点A附近取一个点B，并使点B沿曲线不断的靠近点A，这样直线AB的极限位置就是曲线在点A处的切线.这样通过这个题目学生的两种不同解法的比较、反思，使我们对切线的问题有了更进一步的理解.
美国数学家波利亚说过：错误中往往孕育着比正确更丰富的发现和创造因素，发现的方法就是试错的方法.该案例的教学中，如果只是机械地告诉学生要注意“过某一点的切线”与“在某一点的切线”的区别，那学生就只能在教师的“谆谆告诫”下僵化、被动地接受知识.因此，教师在错误分析的过程中不必担心学生犯错，而应该尽可能把学生头脑中的问题“挤”出来，把思考问题的思维缺陷暴露出来，以此来激发学生重新反思错误，进而达到纠错的目的.
3 顺藤摸瓜——让错误无处遁形
布鲁纳说： 学生的错误都是有价值的.学生在解题时出错的原因是多样的，教师应立足学生，从多样的错误中去发现学生思维的漏洞、误区，顺势而上，顺藤摸瓜，引导学生找到错误根源，让学生在错误中寻求到正确的方向，促使学生的思维水平有层次、有步骤地向更优化的方向发展.
在认知冲突或错误处进行追问，引发学生思考，让学生自己体验、反思、辩论，寻找错因，消除困惑，加深对运用“基本不等式”使用的三个条件“一正、二定、三相等”的理解和掌握，使课堂教学达到“随问潜入思，润生细无声”的效果.可见，当学生暴露错误苗头时，教师不要急于给出正确的结论与过程，而应通过对学生的错误展开刨根究底的追问，引导学生去发现、纠正，从而使学生的知识主动建构，
对于三角问题中有关求角的题目，比较可行的教学策略是在教学过程中要多注重培养学生考虑所求角的范围限定，多注意挖掘题目中的条件，找到能确定所求角的比较精确的范围.当学生做到错解2之后，可以提出一些问题帮助学生进一步去思考：
问题1 对于条件中的一元二次方程的两个根，你们能知道它的两根的符号吗？
问题2 对于角α和β，除了题中给出了它们的范围外，你们能否再把它们的范围给精确一些呢？
问题3 所求角αβ+的范围如何确定呢？
这样就能很好地帮助学生进行问题的解答，从而发现自己原来的解答的不足之处，学会对自己的解答过程进行反思，进而对同题型问题进行归类.
此外，教师在每一章节结束后，利用1～ 2个课时在班级进行纠错与反思心得交流活动，在活动中展示出最深刻的反思或最典型的错误类型，起到借鉴、共勉的效果.
错误，一个让学生感到惶恐的词语，看似讳莫如深，实为极大的财富.作为教师，倘若在看到学生的错误时能用平和的语言委婉地指出，并做到因材施教，教会学生敢于直面错误、认识错误、改正错误，那么错误将不再被学生藏于心底，也不会成为师生间不可逾越的鸿沟，而是一颗躲在河蚌里的珍珠，总有一天会发出熠熠生辉的光芒，成为通往成功之路的垫脚石.