导数在高中数学解题中的应用
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随着高中数学改革的进一步深化，高中数学教学中更多地突出知识的实用性和简洁性.导数是高中数学新教材中重要的知识
之一，体现了现代数学思想.这几年的高考命题趋势表明：导数已经由以往的“配角”上升到“主角”，成为分析问题和解决问题的重要工具.将导数与传统内容结合，不仅能加强能力的考查力度，而且也使试题具有更广泛的实践意义.导数知识在研究解决实际问题中有着广泛的应用，主要应用于研究函数的单调区间、最值以及曲线的切线、某些不等式的证明等问题，所以，在高中教学中越来越显现出其重要性.导数对中学数学也有重要的指导作用.下面举例探讨导数在解题中的应用.当然，导数解决的问题还很多，我在这里仅举了其中几个例子.
一、利用导数求函数的最值
求函数的最值是高中数学的重点，也是难点，是高考经常要考查的内容之一，它涉及函数知识的很多方面，用导数解决这类问题可以使解题过程简单化，步骤清晰，也容易掌握，从而进一步明确了函数的性质.
一般的，函数f（x）在闭区间[a，b]上可导，则f（x）在[a，b]上的最值求法：
（1）求函数f（x）在（a，b）上的极值点；
（2）计算f（x）在极值点和端点的函数值；
（3）比较f（x）在极值点和端点的函数值，最大的是最大值，最小的是最小值.
例1.求函数f（x）=x3-3x在[-3，2]上的最大值和最小值.
分析：先求出f（x）的极值点，然后比较极值点与区间端点的函数值，即可得该函数在区间[-3，2]上的最大值和最小值.
解：由于f′（x）=3x2-3=3（x2-1）=3（x+1）（x-1），则，
当x∈[-3，-1）或x∈（1，2]时，f′（x）>0，所以[-3，-1]，[1，2]为函数f（x）的单调增区间；当x∈（-1，1）时，f′（x）
又因为f（-3）=-18，f（-1）=2，f（1）=-2，f（2）=2，所以，当x=-3时，
f（x）取得最小值-18；当x=-1或2时，f（x）取得最大值2.
二、利用导数判别函数的单调性
函数的单调性是函数的最基本性质之一，是研究函数所要掌握的最基本的知识.用单调性的定义来处理单调性问题有很强的技巧性，较难掌握好，而用导数知识来判断函数的单调性简便而且快捷.
令f′（x）=0得x=1，又当x=0时导数不存在；以0和1为分界点将f（x）的定义域（-∞，+∞）分成三个区间（-∞，0），（0，1），（1，+∞）.
先将f（x）在各区间内单调增减性列表如下：
由此可见，f（x）的单调增区间为（-∞，0），（1，+∞），单调减区间为（0，1）.
三、用导数证明不等式
利用导数研究函数的单调性，再由单调性来证明不等式是函数、导数、不等式综合中的一个难点，也是近几年高考的热点.其主要思想是构造辅助函数，把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或求最值，从而证得不等式.
例3.当x∈（0，π）时，证明不等式sinx
证明：设f（x）=sinx-x，则有
f′（x）=cosx-1
由已知得x∈（0，π），则有
f′（x）
因为f（x）=sinx-x在x∈（0，π）内单调递减，而f（0）=0，所以
f（x）=sinx-x
故当有x∈（0，π）时，sinx
一般的，证明f（x）
如果F′（x）
四、导数在求曲线的切线中的应用
导数的几何意义：如果函数f（x）的导数存在，则的函数f（x）在x=x0处的导数即为该函数在点（x0，f（x0））切线的斜率.利用这个我们可以求出曲线的切线方程.
例4.已知曲线l∶y=x2-2x+a，求过点P（2，-1）的曲线l的切线方程.
解：因y=x2-2x+a，所以y′=2x-2，
则当x=2时，y=a，y′=2.
①当a=-1时，点P（2，-1）在曲线l上，故过点P的曲线l的切线方程为y-（-1）=2（x-2），即2x-y-5=0，
②当a≠-1时，点P不在l上，设曲线l过点P的切线的切点是（x0，y0），
则切线方程为y-y0=（2x0-2）（x-x0）且点P（2，-1）在此切线方程上，
所以有-1-y0=（2x0-2）（2-x0），即y0=2x20-6x0+3.
又y0=x20-2x0+a，
则有x20-2x0+a=2x20-6x0+3，即x20-4x0+（3-a）=0，
Δ=16-4（3-a）=4（a+1），
当a
五、利用导数解决数列问题
数列是高中数学中的一个重要部分，而数列求和是中学阶段数列部分的重要内容之一，有许多初等解决方法.事实上数列可看作是自变量为正整数的特殊的函数，所以可以利用数列和函数的关系，再运用导数来解决数列求和的有关问题.
例5.求和：1+2x+3x2+…+nxn-1（其中x≠0，x≠1）.
（作者单位 陕西省定边县职教中心）