数学“开放式问题”的复习设计与教学反思

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知识教学历来是课堂教学的重点，有效的教知识则是教学研究的永恒主题.以下以中考数学“开放式问题”的复习设计与反思为例，与同行们交流.

一、以问题情境为中心组织复习实例

［问题情景1］：在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，如果只给出条件“AB∥CD”，那么判定四边形ABCD为平行四边形可以补充的条件是哪些？

学生经过思考，提出了不同的方法，教师把学生们的答案汇总后用实物投影在屏幕上.

方法1：若补充条件“∠ABC＝∠ADC”，则四边形ABCD一定是平行四边形.

方法2：若补充条件“AD∥BC”，则四边形ABCD一定是平行四边形.

方法3：若补充条件“∠BAC＝∠DCA”，则四边形ABCD一定是平行四边形.

方法4：若补充条件“AB＝CD”，则四边形ABCD一定是平行四边形.

方法5：若补充条件“∠DAC＝∠BCA”，则四边形ABCD一定是平行四边形.

方法6：若补充条件“∠DAB＝∠DCB”，则四边形ABCD一定是平行四边形.

方法7：若补充条件“BC＝AD”，则四边形ABCD一定是平行四边形.

方法8：若补充条件“∠DBA＝∠CAB”，则四边形ABCD一定是平行四边形.

方案9：若补充条件“AO＝CO”，则四边形ABCD一定是平行四边形.

教师：同学们提了很多有价值的方法，这些方法中是否有你不赞同的？如果有，讲出你的理由.

学生1：方案7不可行,举个反例,四边形ABCD可能是等腰梯形.

学生2：方案8是错误的，因为不符合平行四边形的识别.

教师：很棒！说明你们对平行四边形的性质与识别理解是很深刻的，还有同学对上述方法有异议吗？

学生3：方案3是错误的.因为AB∥CD可推出∠BAC＝∠DCA，相当于这两个是同一个条件.

教师：回答得很棒！你讲得很正确.还有同学对上述方法有异议吗？

师生归纳识别方法：

1．从边与边的关系.

2．从角与角的关系：两组对角分别相等的四边形是平行四边形.

3．从对角线的相互关系：对角线互相平分的四边形是平行四边形.

推理过程：（略）

［问题情景2］：如图所示,AB是O的直径，BC是弦，ODBC于点E，交O于点D.

（1）请写出四个不同类型的正确结论；（并说明理由）

（2）连接CD,设∠CDB=α,∠ABC=β,试找出α与β之间的一种关系式,并给予证明.

学生经过思考,得出了（1）中如下的正确结论：

学生4：①BE＝CD；②BD＝CD；③∠BED＝90°；④ACBC.理由是：根据垂径定理和直径所对的圆周角是直角得出上述四个结论.

学生5：①AC∥OD；②∠BOD＝∠A.理由：1.垂直于同一条直线的两直线平行；2.两直线平行同位角相等.

学生6：①OE2＋BE2＝OB2；② OE・BC＝14AC・BC.理由：1.根据勾股定理；2.是根据三角形面积公式得出结论.

学生7：①BOD是等腰三角形.理由是同圆的半径相等.

学生8：①ACB∽OEB.理由是两角对应相等，两三角形相似等.

教师：对！结合图形利用所学的定理完成.

学生9：（2）中的关系式是α-β＝90°.

教师：你的回答很正确.（学生们陷入沉思，教室里一片寂静.）

学生9（板书）：∠CDB=α CAB的度数是2α，

又∠ABC=β CA的度数是2β，

2α－2β＝AB的度数＝180°，

α－β＝90°.

教师：你的证明过程很有创意！我们要充分利用所学的知识，才能成为一个善于学习的人.（教师正准备展示下一个问题情境时，又有一位学生站出来发言.）

学生10：（2）中的关系式还有α>2β.

一石激起千层浪，学生10的回答顿时使整个教室沸腾起来，反对的也有，赞成的有，谁都说服不了谁.渐渐地，学生把眼光都投向我，希望我能给出一个明确的答案.

教师：实事求是地说，我也不知道有无这种答案.但我坚信：实践是检验真理的唯一标准.我们可以利用课后进一步探究这个问题.

巩固练习：略.

二、小结与反思

初三数学复习，既要帮助学生回忆已遗忘的知识，让学生的知识结构化、网络化，同时增强学生综合运用知识的能力，又要转变学生的学习方式，让学生有成功的体验，增强学生的自我成就感.