椭圆中的定值、定点问题
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有关“定值、定点”问题是解析几何题中常见的一种题型，在近几年的高考或模拟试题中频繁出现，这类题体现了动与静的辩证统一，是数学美很好的例证，所以受到一些命题专家的青睐.但这类问题涉及方程与曲线问题，方程组与不等式求解问题，向量问题等，从分考查方程（组）、转化化归、数形结合等数学思想，且变量较多，运算量大，学生常常运算不下去，导致失败.下面就通过一些考题的求解分析，感受一下这类问题的解题策略和方法.
例1 徐州市2011―2012学年度高三第二次质量检测第18题
如图，已知椭圆C∶x24+y2=1，A、B是四条直线x=±2，y=±1所围成的两个顶点
（１） 设P是椭圆C上任意一点，若OP=mOA+nOB，求证：动点Q（ｍ，ｎ）在定圆上运动，并求出定圆的方程；
（２） 若M、N是椭圆C上两个动点，且直线OM、ON的斜率之积等于直线OA、OB的斜率之积，试探求OMN的面积是否为定值，说明理由.
解：（1） 点Q（m，n）在定圆x2+y2=12上.
(2) 设M（x1，y1），N（x2,y2）,则y1y2x1x2=-14.
平方得x21x22=16y21y22=(4-x21)(4-x32),即x21+x22=4.
因为直线MN的方程为(x2-x1)x-(y2-y1)-y+x1y2-x2y1=0,所以O到直线MN的距离为
d=|x1y2-x2y1|(x2-x1)2+(y2-y1)2,
所以OMN的面积
S=12MN・d=12|x1y2-x2y1|=
12x21y22+x22y21-2x1x2y1y2=
12x211-x224+x221-x214+12x21x22=12x21+x22=1.
故OMN的面积为定值.
评析：(2) 设M（x1，y1），N(x2,y2)，得出x21+x22=4是解题的关键.还可设直线OM、ON的斜率分别为k1、k2,求出M,N的坐标；也可设M,N的坐标的参数形式.
例2 已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)经过点P62，12，离心率为22，动点M(2，t)(t>0)．
(1) 求椭圆的标准方程；
(2) 求以OM为直径且截直线3x－4y－5＝0所得的弦长为2的圆的方程；
(3) 设F是椭圆的右焦点，过点F作OM的垂线与以OM为直径的圆交于点N，证明线段ON的长为定值.
解： (1) 椭圆的标准方程为 x22＋y2＝1.
(2) 所求圆的方程为(x－1)2＋(y－2)2＝5.
(3) 方法一：过点F作OM的垂线，垂足设为K，
由平面几何知识知|ON|2＝|OK||OM|.
则直线OM：y＝t2x，直线FN：y＝－2t(x－1)，
由y=t2x,
y=-2t(x-1) 得xK＝4t2+4，
|ON|2＝xK1+t24・xM1+t24＝4+t24・8t2+4＝2.
所以线段ON的长为定值2.
方法二：设N(x0，y0)，
则FN=(x0-1,y0)，OM=（2，t），MN=(x0-2，y0-t)，ON=（x0，y0）.
FNOM， 2（x0-1）+ty0=0， 2x0+ty0=2.
又 MNON， x0（x0-2）+y0(y0-t)=0,
x20+y20=2x0+ty0=2.
|ON|＝x20+y20=2为定值．
评析：方法一考察几何图形，由平面几何知识得到|ON|2＝|OK||OM的关系，目标转化为求xK；方法二设N(x0，y0)，利用向量垂直的性质得到2x0＋ty0＝2及x20＋y20＝2x0＋ty0＝2，整体代换求证目标.
例3 已知椭圆x24＋y2＝1的左顶点为A，过A作两条互相垂直的弦AM、AN交椭圆于M、N两点．
(1) 当直线AM的斜率为1时，求点M的坐标；
(2) 当直线AM的斜率变化时，直线MN是否过x轴上的一个定点？若过定点，请给出证明，并求出该定点，若不过定点，请说明理由．
解答: (1) M-65,45.
(2) 设直线AM的斜率为k，则AM：y＝k(x＋2)，
则y=k(x+2)
x24+y2=1，化简得：(1＋4k2)x2＋16k2x＋16k2－4＝0.
因为此方程有一根为－2，所以xM＝2-8k21+4k2，同理可得xN＝2k2-8k2+4.
由(1)知若存在定点，则此点必为P-65，0.
因为kMP＝yMxm+65＝k2-8k21+4k2+22-8k21+4k2+65＝5k4-4k2，
同理可计算得kPN＝5k4-4k2.
所以kMP＝kPN，M、P、 N三点共线，
所以直线MN过x轴上的一个定点P-65，0.
评析：(2)实质是在(1)的基础上作出猜想然后证明M、P、 N三点共线；也可以求出M、N的坐标，写出直线MN的方程，然后整理成关于k的方程，进而求出定点坐标.
三、 椭圆中的定位问题
例4 ［2011・江苏卷］如图263，在平面直角坐标系xOy中，M，N分别是椭圆x24＋y22＝1的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P，A两点，其中点P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连结AC，并延长交椭圆于点B.设直线PA的斜率为k.
图263
(1) 当直线PA平分线段MN时，求k的值；
(2) 当k＝2时，求点P到直线AB的距离d；
(3) 对任意k>0，求证：PAPB.
解答： (1) k＝22.
(2) d＝223.
(3) 解法一：将直线PA的方程y＝kx代入x24＋y22＝1，解得x＝±21+2k2，
记μ＝21+2k2.则P(μ，μk)，A(－μ，－μk)，于是C(μ，0)，故直线AB的斜率为0+μ+kμ+μ＝k2，
其方程为y＝k2(x－μ)，代入椭圆方程得(2＋k2)x2－2μk2x－μ2(3k2＋2)＝0，
解得x＝μ(3k2+2)2+k2或x＝－μ，因此Bμ(3k2+2)2+k2，μk32+k2.
于是直线PB的斜率kPB＝μk32+k2-μkμ(3k2+2)2+k2-μ=k3-k(2+k2)3k2+2-(2+k2)=-1k.
因此kPBk＝－1，所以PAPB.
解法二：设P(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1>0，x2>0，x1≠x2，A(－x1，－y1)，
设直线PB，AB的斜率分别为kPB，kAB，
因为C在直线AB上，所以kAB＝0-(-y1)x1-(-x1)=y12x1=k2.
从而kPBk＋1＝2kPBkAB＋1＝2・y2-y1x2-x1・y2-(-y1)x2-(-x1)＋1
＝2y22-2y21x22-x21＋1＝(x22+2y22)-(x21+2y21)x22-x21=4-4x22-x21=0.
因此kPBk＝－1，所以PAPB.
评析： 本题第三小问论证“PAPB”即论证k・kPB＝－1.解法一是通过直线方程和椭圆方程求出P，A，B三点的坐标，再代入斜率公式进行计算，化简的难度较大．解法二是利用C在直线AB上进行转化，建立k与kAB、kPB与kAB之间的关系再进行论证，相对计算要简单．