一道高考题的溯源与变式
开篇：润墨网以专业的文秘视角，为您筛选了一篇一道高考题的溯源与变式范文，如需获取更多写作素材，在线客服老师一对一协助。欢迎您的阅读与分享！
问题1 （人教A版必修1第133页复习参考题第8题）已知如图1,ABCD是半径为2的半圆O的内接等腰梯形,下底AB为直径,C,D在圆弧上.设BD=x,等腰梯形的周长为y,试求y关于x的函数解析式,并指出函数定义域.
图2
问题2 （人教A版必修1第27页练习1.2.2第5题）已知如图2,圆O的半径为5,ABCD是其内接矩形,求矩形面积的最大值.
将上述两问题中的圆改为椭圆再结合起来就构成了2007年北京理科卷第18题.
图3
原题
如图3,有一块半椭圆形钢板,其长半轴长为4r,短半轴长为r.计划将此钢板切割成等腰梯形的形状,下底AB是半椭圆的短轴,上底CD的端点在椭圆上,记CD=2x,梯形面积为S.
（1） 求面积S以x为自变量的函数解析式,并写出其定义域；
（2） 求面积S的最大值.
这两个问题是属于同一类问题,即二次曲线（圆、椭圆或抛物线）内接矩形或等腰梯形的面积、周长等问题.由此引发一些思考,得出如下变式问题.
变式1 在图1中,求等腰梯形面积的最大值.
分析
策略一：连结BC，OC，在BOC中,利用面积法求出等腰梯形的高h,建立面积的函数关系式,再利用求值域的方法求解；策略二：设∠AOC=θ,将等腰梯形的面积建立为关于θ的函数,再利用三角函数法求解；策略三：建立直角坐标系,写出圆的方程,选择点C的横坐标为自变量,建立目标函数.
解析一连结BC，OC，在BOC中,由等面积法,可知12x4－x24=12×2h,所以有h=x2・4－x24,从而有CD=24－x244－x24=22－x24.
所以梯形ABCD的面积为S=4+4－x222・x2・4－x24=4－x24・x2・4－x24,0
令4－x24=t∈(2,4),可得S=4－x243x24=t3(4－t)=－t4+4t3.
令g(t)=－t4+4t3,则g′(t)=－4t3+12t2=4t2(3－t).
当2
当3
解题回顾
这三种解法都是常见的方法,但解法二、三较简单,涉及了函数、三角、不等式等知识以及函数最大值的求法导数法、基本不等式法、三角函数的有界性法,是一道较好的小型综合题.
图5
变式2 如图5,ABCD是半径为2的半圆内接矩形,且A,B在直径上,C,D在半圆周上,求矩形周长L及面积S的最大值.
分析
选取BC=x为自变量,可建立L与S关于x的函数,若连结OC，选取∠BOC=θ为自变量,则可以建立L与S关于θ的函数.
变式3 如图6,已知ABCD为抛物线段y=4－x2 （－2≤x≤2)的内接矩形,A,B在x轴上,C,D在抛物线上,求矩形面积S的最大值.
图6
图7
变式4 如图7,已知ABCD为抛物线段y=4－x2 （－2≤x≤2)的内接等腰梯形,A(－2,0),B(2,0),C,D在抛物线上,求等腰梯形面积S的最大值.
图8
变式5 如图8,在变式4中,设ABCD绕y轴旋转一周所得的几何体的体积为V,当V取得最大值时,CD的近似值为多少？（精确到0.001）
分析
首先确定自变量,由于CD的平行移动引起等腰梯形的变化,于是选择点C的横坐标为自变量x；其次确定几何体的形状,等腰梯形绕y轴旋转一周得到的几何体是圆台,将圆台的体积建立为关于x的函数；最后利用导数法求取最大值时x的值,需要解三次方程,这是我们无法完成的,但题目要求近似解,于是想到二分法.
解
等腰梯形绕y轴旋转一周得到的几何体是圆台,上底半径r1=x,下底半径r2=2,高h=4－x2,则V=13π(x2+22+2x)(4－x2)=13π(－x4－2x3+8x+16)（0
对V求导，得V′(x)=13π(－4x3－6x2+8)=－2π3(2x3+3x2－4)（0＜x＜2）.
令g(x)=2x3+3x2－4,0
又因为g(0)=-4,g(1)=1,所以g(x)=0在（0,1）内有且只有一个解x0.
当0
当x0
所以当x=x0时,V有最大值V(x0).
下面用二分法求x0的近似解.
因为G（0）=－4,G（1）=1,G12=－3,所以x0∈12,1,又有G34
取x0=3132,得CD=2x0=3116≈1.938.
解题回顾利用圆台体积公式很容易建立目标函数V(x),运用导数法求出驻点,讨论其极值.但由于V′(x)=0是三次方程,没有简便的求根公式,于是利用函数图象研究方程根的分布情况,再利用二分法确定极大值点x0的近似范围,从而得出近似解.
变式6 如图9,等腰梯形ABCD的两腰及上
底CD与半圆O均相切,下底AB落在直径上,已知半圆的半径为R,求等腰梯形的周长L及面积S的最小值.
图9
分析
因为四边形ABCD是半圆O的内切等腰梯形,等腰梯形的周长、面积的变化与∠BCD有关,即与∠EOF有关,于是选取∠EOF为自变量,将周长、面积都建立为∠EOF的函数,再利用三角、导数、基本不等式等知识求解.
变题7 如图10,抛物线y=4－x2 （－2≤x≤2）,等腰梯形ABCD的两腰BC,DA及上底CD与抛物线段相切,A,B在x轴上,求梯形ABCD的面积S的最小值.
图10
图11
变题8 如图11,函数y=21－x2（-1≤x≤1）的图象,等腰梯形ABCD的两腰BC,DA及上底CD与与函数图象均相切,A,B在x轴上,且CD∥AB,求梯形ABCD的面积S的最小值.
分析
等腰梯形的变化是由BC边上的切点E引起的,设E（t,21－t2）,利用导数求出切线斜率及切线方程,继而求出B,C两点坐标,于是就建立了面积S关于t的函数,再利用导数知识求出函数的最小值.
解设BC与函数图象的切点为E（t,21－t2）,对y=21－x2求导，得y′=－2x1－x2,所以k=－2t1－t2，可得切线方程
y-21－t2=－2t1－t2（x－t）.
令y=0,得xB=t+1－t2t=1t.
令y=2,得xC=1t－1－t2t,0
于是得S=2×22t－1－t2t2=22t－1t2－1=22u－u2－1（令1t=u>1）.
对S求导,得S′（u）=22－uu2－1.
令S′（u）=0,解得u=23.
当1
当u>23时,S′>0,S是单调增函数.
所以当u=23,即t=32时,S有极小值,也是最小值,即Smin=23.
解题回顾首先,要建立等腰梯形的面积S的目标函数,关键是如何选取自变量,等腰梯形的变化是由切点E变化而引起的,所以就选择切点E的横坐标为自变量；其次,求函数的最小（大）值,利用化归思想化繁为简；最后,利用导数知识求解函数的最小（大）值.本题也可以采用三角换元法求解,先令t=sinθ0
2(2－cosθ)sinθ,再利用三角函数知识或数形结合方法，求出当θ=π3时,即t=32时,S有最小值.
从上述各题可以看出,高考题在课本上都是有其原型的,所以我们在学习过程中要善于变更问题的形式,扩大问题的思维“容量”,实现以少胜多.在学习新知识的时候,同学们虽然也掌握了某种解题模式,但在一定阶段内往往只会机械地模仿、照搬这个固定模式解题.对此,如果不予以注意,很可能形成某种心理定势,造成思维的呆板和僵化,因而在学习过程中,当我们获得某种解题的基本方法以后,应及时将原题的条件、结论、情境或方法延伸变通,使我们进一步理解和掌握典型问题所阐述的概念、原理、规律、数量关系或解题方法,从而极大地开拓思维空间,以达到学会创造性解题的目的.