第39讲 极坐标与参数方程
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考情分析
极坐标与参数方程每年都要考查一道填空题.该试题通常设置在填空题的最后一题，难度不大，分值为5分，以考查极坐标与参数方程的综合应用为主，有时还考查极坐标、参数方程与直角坐标方程的互化等.统计表明，几乎每个省份每年的高考试卷中都有一道极坐标与参数方程题.极坐标与参数方程试题通常以考查曲线的参数方程、参数方程与普通方程的互化、曲线的极坐标方程、极坐标与直角坐标的互化为主，借以考查直线与圆锥曲线的关系或圆锥曲线的相关性质，较少涉及极坐标参数方程的本质应用.各地试卷在此部分差别不大，一般都偏重计算.
命题特点
极坐标与参数方程在近年高考命题中有以下特点：①考查曲线的参数方程，参数方程与普通方程的互化，曲线的极坐标方程，极坐标和直角坐标的互化，这部分题以填空题为主，一般难度不大，属于基础题；②附带考查两点之间的距离，点到直线之间的距离，曲线交点的坐标，三角形的面积，圆与圆锥曲线的有关性质，及直线与圆锥曲线关系等.
纵观近几年高考试卷中的极坐标与参数方程试题，高考对于极坐标与参数方程试题的考查均在较易的层次.多数省份的试题来源于教材，试题活而不难，主要考查对极坐标与参数方程相关运算、互化以及灵活运用知识的能力.
1. 直角坐标方程与极坐标方程的互化
例1 （1）在极坐标系中，点[（2，π3）]到圆[ρ=2cosθ]的圆心的距离为 （ ）
A.2 B. [4+π29]
C. [1+π29] D. [3]
（2）若曲线的极坐标方程为[ρ=2sinθ+4cosθ]，以极点为原点，极轴为[x]轴正半轴建立直角坐标系，则曲线的直角坐标方程为__________.
解析 （1）极坐标[（2，π3）]化为直角坐标为[（2cosπ3，2sinπ3）]，即（1，[3]）；圆的极坐标方程[ρ=2cosθ]可化为[ρ2=2ρcosθ]，化为直角坐标方程为[x2+y2=2x]，即[（x-1）2+y2=1]，所以圆心坐标为（1，0），则由两点间距离公式[d=（1-1）2+（3-0）2=3].
（2）根据已知[ρ=2sinθ+4cosθ=2yρ+4xρ]，化简可得： [ρ2=2y+4x=x2+y2]，所以曲线的直角坐标方程为[x2+y2-4x-2y=0].
答案 （1）D （2）[x2+y2-4x-2y=0]
点拨 极坐标与直角坐标的相互转化，一定要记住两点：（1）[x=ρ・cosθ，y=ρ・sinθ]；（2）[ρ2=x2+y2，tanθ=yx].直角坐标化为极坐标方程比较容易，只是将公式[x=ρ・][cosθ，y=ρ・sinθ]直接代入并化简即可；而极坐标方程化为直角坐标方程则相对困难一些，解此类问题，要构造形如[ρcosθ，ρsinθ，ρ2]的形式，然后进行整体代换，其中方程两边同时乘以[ρ]及方程两边平方是常用的变形方法.
2. 参数方程与普通方程的互化
例2 把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线.
（1）[x=1+12t，y=2+32t]（t为参数）；（2）[x=1+t2，y=2+t]（t为参数）；
（3）[x=t+1t，y=1t-t]（t为参数）；（4）[x=4sinθ，y=5cosθ]（θ为参数）.
解析 （1）由x=1+[12]t得，t=2x-2，
[3x-y+2-3=0]，此方程表示直线.
（2）由y=2+t得，t=y-2，x=1+（y-2）2，即（y-2）2=x-1，此方程表示抛物线.
（3）由[x=t+1t，①y=1t-t，②]
[①]2-[②]2得，x2-y2=4，此方程表示双曲线.
（4）由[x=4sinθ，y=5cosθ]得，[sinθ=x4，①cosθ=y5，②]
①2-②2得，[x216+y225=1]，此方程表示椭圆.
点拨 （1）化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，消去参数的方法一般有三种：①利用解方程的技巧求出参数的表示式，然后代入消去参数；②利用三角恒等式消去参数；③根据参数方程本身的结构特征，选用一些灵活的方法从整体上消去参数.（2）在参数方程与普通方程的互化中，必须使两种方程中的[x，y]的取值范围保持一致.
3. 参数方程的应用
例3 已知圆M：[x=1+cosθ，y=sinθ，]（[θ]为参数）的圆心F是抛物线E：[x=2pt2，y=2pt，]（t为参数）的焦点，过焦点F的直线交抛物线于[A，B]两点，求[|AF|・|FB|]的取值范围.
解析 曲线M：[x=1+cosθ，y=sinθ，]的普通方程是（x-1）2+y2=1，所以F（1，0）.
抛物线E：[x=2pt2，y=2pt]的普通方程是y2=2px，
所以[p2]=1，p=2，抛物线方程为y2=4x.
设过焦点F的直线的参数方程为[x=1+tcosθ，y=tsinθ，]（t为参数），
代入y2=4x得， [t2sin2θ-4tcosθ-4=0].
|[AF|・|FB|=]|t1t2|=[4sin2θ].
[0
点拨 解决与圆、圆锥曲线的参数方程有关的综合问题时，要注意普通方程与参数方程的互化公式，主要是通过互化解决与圆、圆锥曲线上动点有关的问题，如最值、范围等.
4. 参数方程与极坐标的综合应用
例4 已知曲线[C1]的参数方程是[x=2cosφ，y=3sinφ]（φ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线[C2]的极坐标方程是[ρ=2]，正方形[ABCD]的顶点都在[C2]上，且[A，B，C，D]依逆时针次序排列，点A的极坐标为[（2，π3）].
（1）求点[A，B，C，D]的直角坐标；
（2）设P为[C1]上任意一点，求[|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2]的取值范围.
解析 （1）由已知可得A[（2cosπ3，2sinπ3）]，
[B（2cos（π3+π2），2sin（π3+π2））]，
[C（2cos（π3+π），2sin（π3+π））]，
[D（2cos（π3+3π2），2sin（π3+3π2））]，
即[A（1，3），B（-3，1），C（-1，-3），D（3，-1）].
（2）设[P（2cosφ，3sinφ），]令[S=|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2，]
则[S=16cos2φ+36sin2φ+16=32+20sin2φ，]
[0≤sin2φ≤1，][]S的取值范围是[32，52].
点拨 （1）对于有些几何图形，选用极坐标系可以使建立的方程更加简单.当问题涉及角度、长度，特别是涉及角度时，选用极坐标系，更容易将已知的几何条件转化为数量关系；（2）在极坐标系中解决问题，要和解三角形联系起来，根据几何图形，合理使用公式（比如正、余弦定理，三角形面积公式，直角三角形中的正余弦关系等）解决问题.
备考指南
极坐标系和参数方程是本模块的重点内容，也是高考重点考查的内容.这部分内容一般不单独命题，常与圆锥曲线综合在一起进行考查.坐标系、参数方程是研究曲线的辅助工具，在高考试题中，涉及较多的是建立直角坐标系，用解析法解综合题.从近两年的新课标高考试题可以看出，对参数方程的考点是直线的参数方程、圆的参数方程和圆锥曲线的参数方程的简单应用，特别是利用参数方程解决弦长和最值等问题，题型为填空题和解答题.很多自主命题的省份在选考坐标系与参数方程中的命题多以综合题的形式命题，而且通常将极坐标方程、参数方程相结合，以考查考生的转化与化归的能力.在复习时，首先要把握好基础知识和基本方法.在解决极坐标与参数方程中的一些问题时，主要的思路是将极坐标与参数方程化为直角坐标方程，在直角坐标系下求解后，再进行转化.应注意极坐标系中求解问题的基本方法，熟悉直线、圆、椭圆的极坐标方程.要紧紧抓住直线、圆、圆锥曲线的参数方程的建立以及各参数方程中参数的几何意义，同时要熟练掌握参数方程与普通方程互化的一些方法.
限时训练
1. 若圆的方程为[x=-1+2cosθ，y=3+2sinθ]（θ为参数），直线的方程为[x=2t-1，y=6t-1]（t为参数），则直线与圆的位置关系是 （ ）
A.相交过圆心 B.相交但不过圆心
C.相切 D.相离
2. 与普通方程[x2+y-1=0]等价的参数方程[（t，φ，θ]为参数）是 （ ）
A. [x=sint，y=cos2t] B. [x=tanφ，y=1-tan2φ]
C. [x=1-t，y=t] D. [x=cosθ，y=sin2θ]
3. 在极坐标中，若等边[ABC]的两个顶点是，[B（2，5π4）].那么顶点[C]的坐标可能是 （ ）
A.（4，[3π4]） B.（2[3]，[3π4]）
C.（2[3]，π） D.（3，π）
4. 直线[x=-2-2t，y=3+2t]（t为参数）上与点[P（-2，3）]的距离等于[2]的点的坐标是 （ ）
A.（-4，5） B.（-3，4）
C.（-3，4）或（-1，2） D.（-4，5）或（0，1）
5.若P（2，-1）为圆[x=1+5cosθ，y=5sinθ]（[θ]为参数且0≤θ
A.x-y-3=0 B.x+2y=5
C.x+y-1=0 D.2x-y-5=0
6.已知直线l的参数方程是[x=1+12t，y=32t]（t为参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆[C]的极坐标方程为[ρ=2cosθ+4sinθ]，则直线l被圆所截得的弦长为 （ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
7.如果曲线[C：x=a+2cosθ，y=a+2sinθ]（[θ]为参数）上有且仅有两个点到原点的距离为2，那么实数a的取值范围是 （ ）
A. （-2[2]，0） B. （0，2[2]）
C. （-2[2]，0）∪（0，2[2]） D. （1，2[2]）
8.已知抛物线的参数方程为[x=2pt2，y=2pt]（t为参数），其中p>0，焦点为F，准线为l，过抛物线上一点M作l的垂线，垂足为E.若|EF|=|MF|，点M的横坐标是3，则p的值为 （ ）
A. 1 B. -1 C. 2 D. -2
9.设直线[l2]的参数方程为[x=1+t，y=a+3t]（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系得另一直线l1的方程为[ρsinθ-3ρcosθ+4=0]，若直线l1与l2间的距离为[10]，则实数a的值为 （ ）
A.9或11 B.-9或-11
C.-9或11 D.9或-11
10.在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.圆[C1]，直线[C2]的极坐标方程分别为[ρ=4sinθ，][ρcos（θ-π4）=22，]设[P为C1]的圆心，Q为[C1与C2]交点连线的中点.已知直线PQ的参数方程为[x=t3+a，y=b2t3+1][（t∈R为参数）]，则a，b的值分别为 （ ）
A.1，2 B.-1，2 C.1，-2 D.-1，-2
11. 在直角坐标系xOy中，椭圆[C]的参数方程为[x=acosφ，y=bsinφ]（φ为参数，a>b>0）.在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，直线l与圆O的极坐标方程分别为[ρsin（θ+π4）=22m]（m为非零常数）与[ρ=b]，若直线l经过椭圆C的焦点，且与圆O相切，则椭圆C的离心率为 ________.
12. 在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若极坐标方程为[ρcos θ=4]的直线与曲线[x=t2，y=t3]（t为参数）相交于[A，B]两点，则[AB]的长为_________.
13.直线[l]的参数方程是[x=22t，y=22t+42，] （其中[t]为参数），圆[C]的极坐标方程为[ρ=2cos（θ+π4）]，过直线上的点向圆引切线，则切线长的最小值是__________.
14.在极坐标系中，圆[C1]的方程为[ρ=42cos（θ][+π4）]，以极点为坐标原点，极轴为[x]轴的正半轴建立平面直角坐标系，圆[C2]的参数方程为[x=-1+acosθ，y=-1+asinθ，]（[θ]为参数），若圆[C1]与圆[C2]外切，则实数[a]_________.
15.已知动点[P，Q]在曲线C：[x=2cost，y=2sint，]（t为参数）上，对应参数分别为[t=α与t=2α（0
（1）求[M]的轨迹的参数方程；
（2）将[M]到坐标原点的距离[d]表示为[α]的函数，并判断[M]的轨迹是否过坐标原点.
16.在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为[x=a+3t，y=t]（t为参数）.在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的单位长度，且以原点[O]为极点，以[x]轴正半轴为极轴）中，圆[C]的方程为[ρ=4cosθ].
（1）求圆[C]在直角坐标系中的方程；
（2）若圆[C]与直线l相切，求实数a的值.
17.实数x，y满足[（x-1）216+（y+2）29=1]，试求x-y的最大值与最小值，并指出何时取得最大值与最小值.
18. 已知圆锥曲线[x=2cosθ，y=3sinθ][（θ是参数）]和定点[A（0，3）]，[F1，F2]是圆锥曲线的左、右焦点.
（1）求经过点[F1]垂直于直线[AF2]的直线l的参数方程；
（2）以坐标原点为极点，[x]轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求直线[AF2]的极坐标方程.