“遥望”交并问题

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摘 要： 在中职数学中，求集合和区间的交并、不等式组是一个很重要的问题。本文作者基于中职学生学习数学的实际情况，深入研究集合并总结出一种更为直观简便的方法，让学生不再遥望交并问题。

关键词： 中职数学集合 区间 不等式组 交并问题

求集合和区间的交并、不等式组是中职数学中一个很基础的问题，以往我们主要引导学生如何借用数轴来解答，然而中职学生数学基础和解题思维能力普遍较差，很多学生很难在数轴上准确标出范围，不少学生没法准确找出交并部分，即使找对了也有很多学生不会正确将交并部分表达出来。下面我介绍自己总结的方法以观解交并问题。

一、集合的交并

例1.已知集合A={x|4＞x≥2}，B={x|9≥x＞3}，求A∩B、A∪B。

解：A∩B={x|2≤x＜4}∩{x|3＜x≤9}={x|3＜x＜4}

A∪B={x|2≤x＜4}∪{x|3＜x≤9}={x|2≤x≤9}

例2．已知集合A={x∈Q|x≥－2}，B={x∈Q|x＜5}，求A∩B、A∪B。

解：A∩B={x∈Q|－2≤x}∩{x∈Q|x＜5}={x∈Q|－2≤x＜5}

A∪B={x∈Q|－2≤x}∪{x∈Q|x＜5}= Q

例3．已知集合A={x|5≥x＞－4}，B={x|11＞x≥8}，求A∩B、A∪B。

解：A∩B={x|－4＜x≤5}∩{x|8≤x＜11}={x|8≤x≤5}=

A∪B={x|－4＜x≤5}∪{x|8≤x＜11}={x|－4＜x≤5或8≤x＜11}

例4．已知集合A={x|2≥x＞－1}，B={x|3＜x≤8}，求A∩B、A∪B。

解：A∩B={x|－1＜x≤2}∩{x|3＜x≤8}={x|3＜x≤2}=

A∪B={x|－1＜x≤2}∪{x|3＜x≤8}={x|－1＜x≤2或3＜x≤8}

说明1：统一不等式符号开口向右；左边空无穷小，右边空无穷大。

说明2：求交集依大∩小定值，并观察左右数值，若左边数大于右边则A∩B=（比如例3定值后⑧＞⑤；例4定值后③＞②）。

说明3：求并集前观察左右数值，（1）若左边有数大于右边，则直接将两部分并起来（比如例3定值前＞；例4定值前?＞）；（2）若左边数都小于右边，则依小∪大定值（注：若定值后为 x ，则并集为x的取值范围，如例2）。

二、区间的交并

同样地，可以参照说明2和说明3进行求解区间的交并问题。

例5.已知A=（-∞，5），B=（0，19］，求A∩B、A∪B。

解：A∩B=（-∞，5）∩（0，19］=（0，5）

A∪B=（-∞，5）∪（0，19］=（-∞，19］

例6.已知A=（-∞，3），B=（2，+∞），求A∩B、A∪B。

解：A∩（B=（-∞，3）∩（2，+∞）=（2，3）

A∪B=（-∞，3）∪（2，+∞）=（-∞，+∞）

例7.已知A=［4，6）， B=（2，3］，求A∩B、A∪B。

解：A∩B=［4，6）∩（2，3］=.

A∪B=［4，6）∪（2，3］.

三、不等式组

因为不等式组的解必须同时满足多个不等式，所以我们只要先分别求出各个不等式的解后结合说明1和说明2来快速确定不等式组的解范围.

例8.求不等式组x+3＜4x+3＞-1的解集.

解：由x+3＜4x+3＞-1得：x＜1-4＜x，所以，-4＜x＜1.

所以，不等式组的解集为{x|-4＜x＜1}

例9.求不等式组x+3＞4x+3＜-1的解集.

解：由x+3＞4x+3＜-1得：1＜xx＜-4，所以1＜x＜-4（不成立）.

所以不等式组的解集为.

综上，我们知道利用此法求解集合、区间的交并问题和确定不等组的解时不仅免去了画数轴、找交并部分、表达的困难和麻烦，极大地降低了求解难度；而且能直观快速准确地得到答案，利于提高学生的信心、兴趣和解题思维能力。

参考文献：

［1］张景斌.高中数学（上册基础模块）［M］.语文出版社，2009：12-15，34-37.

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