幂平均与加权幂平均的一个关系

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摘 要：将幂平均与加权幂平均的一个特殊关系，推广到它们之间的更一般关系.

关键词：幂平均；加权幂平均；关系

问题的缘由

有一定理，其定理内容如下：设正数序列a=（a1，a2，…，an），则m0（a）≤m0（a，a）.

并且此定理的证明过程实际上已将不等式m0（a）≤m0（a，a）加强为m1（a）≤m0（a，a）.

本文受此启发，将上述不等式进一步推广，得到下述结论.

本文的结论

设正数序列a=（a1，a2，…，an）， 则mr（a）≤mr-1（a，a）.

有关概念和命题

在证明此结论之前，本文给出以下几个定义和定理：

定义1 设a=（a1，a2，…，an）为给定的正数列，该数列对于正权ω=（ω1，…，ωn）的r阶的加权（幂）平均定义为

mr（a，ω）=，r≠0，r

其中，Wn=ω1+…+ωn，∑=，∏ =.

定义2 设n是大于或等于2的正自然数，a=（a1，…，an）为给定的正数列，r∈R，则

mr（a）=a，r≠0，，r=0为a的r次幂平均.

？摇？摇从定义1、定义2可以看出，定义2实际上是定义1的一个特例，即在定义1中令ω1=ω2=…=ωn=1便得到了定义2.

此外，特别地，分别取r=1，2，-1，0时，便得到我们中学已经学过的n个正数a1，a2，…，an的算术平均（An），平方平均（Qn），调和平均（Hn），几何平均（Gn）.

关于mr（a）和mr（a，ω）有如下性质：

定理1 mr（a）是r的单增函数.

定理2 mr（a，ω）是r的单增函数.

特别地，当ω=a=（a1，…，an）时，mr（a，a）也是r的单增函数.

本文结论的证明

（1）当r=1时，容易知道，m1（a）≤m0（a，a）.

（2）当r>1时，要证≤？摇，

只需证r-1≤r，

只需证≤，

即证m1（a）≤mr（a）成立. 因r>1，故m1（a）≤mr（a）显然成立.

（3）当0

≤=，

类似（2）的证明过程，最后只要证mr（a）≤m1（a）即可，显然成立.

（4）当r=0时，由于m0（a）=≤=m-1（a，a），故m0（a）≤m-1（a，a）.

（5）当r

进一步的思考

利用本文的结论和定理2立刻得出：

mr（a）≤mr-1（a，a）≤mr（a，a）.

而其中mr（a）≤mr（a，a）则是问题缘由中给出的定理的推广.