对一道高考试题的探讨

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对高考试题解法的探讨，是对数学思想和方法进行探讨的过程，数学思想和方法是中学数学内容的通法，是高考考查的核心，它的形成是高中生解决高考题的关键.本文就针对2014年湖南理科高考试题中选择题10题来进行探讨以及同类型试题的解法.

例1 （2014年湖南理10）已知函数f （x）=

x2+ex-12（x

g（x）=x2+ln（x+a）的图象上存在关于y轴对称的点，

则实数a的取值范围是（ ）

（A） （-∞，1e

（B） （-∞，e

（C） （-1e，e

（D） （-e，1e）

解析：由题意可得，当x>0时，y=f（-x）与g（x）的图象有交点，即g（x）=f（-x）有正解，即

x2+ln（x+a）=（-x）2+e-x-12

有正解，即e-x-ln（x+a）-12=0有正解.令

F（x）=e-x-ln（x+a）-12=0，因为

F′（x）=-e-x-1x+a

所以F（x）=e-x-ln（x+a）-

12在（0，+∞）单减，因为即

e-x-ln（x+a）-12=0有正解，所以存在正数x使得F（x）

>0，所以F（0）>0，

F（0）=e-0-ln（0+a）-12

>0，lna

另解：函数

f （x）=x2+ex-12（x

g（x）=x2+ln（x+a）的图象上存在关于y轴对称的点，则只需找

ex-12与

ln（x+a）的图象上存在关于y轴的对称点，则就是

方程ex-12=ln（-x+a）在x

图1

I（x）=ex-12与M（x）=ln（-x+a）的图象在y 轴左边有交点，如图1所示.

所以I（0）>M（0）lna

e，所以选（B）.

在高三总复习中经常遇到这种试题，学会解决此类试题，对学生帮助很大，可以触类旁通.

变式1：（2013年湖北）函数f （x）=x（lnx-ax）有两个极值点，求实数a的取值范围.

解法1：（含参讨论） F′（x）=lnx-ax+x（1x

-a）=lnx-2ax+1=0有两个解.

现讨论新函数g（x）=lnx-2ax+1与x轴有两个交点.

g′（x）=1x-2a=

1-2axx

（x>0）.

图2

当a≤时，g′（x）>0，所以g（x）在（0，+∞）单增，不满足题意.

当a>0时，可知g（x）在（0，12a）单增，（

12a，+∞）单减.

故g（12a）>0，ln12a

>00

解法2：（参数分离） 方程lnx-2ax+1=0有两个解.2a=

lnx+1x=g（x），

求得g′（x）=-lnx

x2，可知g（x）在（0，1）单增，（1，+∞）单减.

g（x）在（1，+∞）恒为正数，如图3所示.

因为y=2a与y=g（x）的图象有两个交点，

所以0

解法3：（数形结合）

方程lnx-2ax+1=0有两个解，lnx=2ax-1有两解.

图3 图4

因为y=lnx与y=2ax-1的图象有两个交点，如图4所示.

令切点（x，y），

y=lnx，

y=2ax-1，

1x=2a

x=1，

y=0，

a=12

点评：数形结合是数学解题中常用的思想方法，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，使很多问题便迎刃而解，且解法简捷.

练习： 对任意x>0，不等式ex-kx>0恒成立，求实数k的取值范围.