感受策略价值 领悟数学思想

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【教学内容】人教版五年级下册第134～135 页“找次品”。

【教材解读】

“找次品”一课是人教版数学广角的内容。在学习中，要求利用天平在所有待测物品中找出一个外观与正品相同，且事先知道比正品轻（或重）的次品，从而经历思维过程，感悟数学思想，获取解决问题的策略。

关于解决问题的策略研究学生已有接触，此前学习过的“沏茶”“田忌赛马”“植树问题”等都属于这一范畴。在这些内容的学习中，对化归思想、优化思想以及通过图示法发现规律等都有所渗透，学生已经具有一定的逻辑推理能力和解决问题的能力。

北师大版教材也安排了“找次品”的教学，旨在通过“找次品”渗透优化思想，感受解决问题策略的多样性，培养观察、分析和解决问题的能力。为更好地丰富人教版“找次品”的数学思想内涵，将本课所体现的数学思想定位为化归思想、优化思想。

【教学目标】

1.通过实验操作等数学活动，使学生知道解决“找次品”问题的基本策略。

2.在动手操作、观察比较、合作交流中，感悟化归思想，体会解决问题策略的多样性及运用化归、优化思想解决问题的有效性。

3.让学生尝试用数学的方法来解决实际生活中的简单问题，培养学生的应用意识和解决实际问题的能力。

【教学过程】

一、情境导入，激发兴趣

（媒体播放一段汽车召回事件的视频）

师：看了这段视频后，你有什么感想？

师：经调查，这次汽车召回事件主要是由一个次品零件引起的。可见找出这个次品零件非常重要，今天我们就来找一找次品。（板书课题：找次品）

（设计意图：从汽车召回事件的情境引入，突出找次品的重要性，激起学生的学习兴趣，渗透人文思想。）

二、逆向思考，感知策略

1.用天平找次品。

师：有一批形状大小一样的零件，其中有1个是次品，你能用天平找出来吗？

2.逆向思考零件数。

师：在几个零件中，用天平只称1次就能找出次品？

生：2个。每边各放1个，轻的那边就是次品。[板书： 2（1，1） ，1次]

生：3个，每边各放1个，另一个放在旁边。[板书：3（1，1，1）， 1次]

3.比较两种称法。

师：用天平称1次出现这样的两种情况，你更喜欢哪个结果？

生：我喜欢3个，因为在天平外还有一个。

师：3个的这种情况不仅考虑了天平上的2份，还考虑了天平外的1份。

（设计意图：在称2个与3个基本零件数的次数时，采用逆向思考的方式，并通过两种情况的比较，让学生进一步理解称3个这种情况的特点，为解决“找次品”问题的策略提供依据。）

三、动手操作，体验策略，形成数学思想

1.探索6个零件称的次数。

师：有6个零件用天平称，至少称几次保证找出次品呢？（由学生合作交流完成）

根据学生反馈情况，介绍找次品方法及称的次数。

（1）方法一

生：6（3，3），两边各放3个出现不平衡，再称轻的3个要1次，共称2次。

（2）方法二

生：6（2，2， 2），称2次。

（3）方法三

生：我是1个1个称的，这种分法运气好的称1次，运气差的称3次。要做好最坏的打算，至少称3次。（媒体演示过程）

（设计意图：本环节通过动手操作来探究6个零件中找出次品的次数。比如把6个分成3份（2，2，2）的思维过程就可以表示为：

将称6个零件的次数问题转化为称2个的次数问题，再通过2个称1次来解决称6个的次数，这就是化归思想的运用。）

2.分析比较。

师：观察6个零件的三种不同称法，你认为哪一种比较好？

生：前两种方法都是称2次比较好。

师：次数少的比较好，这样能帮助我们快速找出次品。

（设计意图：通过三种不同称法的优化比较，让学生初步感知称次品时，称的次数少为好，有利于问题解决策略的形成。）

四、自主探索，内化策略，提炼数学思想

1.探索从4、5、7、8、9个零件中找出次品的方法。

师：6个零件至少称2次就找出1个次品，同样也是称2次，还能在几个零件中找出次品？（先想一想、写一写，再与同桌交流，然后展示过程）

生：7（3，3，1）称2次，7（2，2，3）称2次。

生：8（3，3，2）称2次，8（4，4）称3次。

生：9（3，3，3）称2次，9（4，4，1）称3次。

生：4（2，2）称2次，5（2，2，1）称2次。

（设计意图：研究4～9个零件称次品所需的次数，都是将零件数化归为2、3个来解决问题。）

2.观察分析。

师：观察这些称法，怎样分比较好？

生：分成2份或3份比较好。

师：8个的分成3份是2次，分成2份是3次，你发现了什么？

生：分成3份的，称的次数少。

师：同样是9个的都分成3份，你发现了怎样分次数会少？

生：平均分次数少，如果不是平均分的，要接均分。

师：所以，在用天平称时，把零件数分成3份，而且尽量平均分，这样就会以最少的次数保证找出次品。

（设计意图：以2～9个零件为研究对象，通过比较分析，逐步优化过程，形成问题解决的有效策略，构建数学模型。）

五、实践运用，提升策略，应用数学思想

1.利用分成3份的策略解决27、81个零件中找次品的问题。

师：利用3个零件至少称1次就能找出次品，推算出9个零件至少称2次就能找出次品。利用9个零件至少称2次就能找出次品，你能推算出从几个零件中至少称几次也能找出次品？

生：9个零件称2次能找出次品，再加1次，可推算出27个零件至少称3次就能找出次品。

师：利用27个零件称3次能找出次品，你能解决从几个零件中至少称几次找出次品？[板书：？（ ）27（3）]

生：27×3=81个，81个零件至少称4次就能找出次品。

师：你还有什么发现吗？

生：81×3=243个，243个零件至少称5次……

（设计意图：9分成3个3，利用3个零件找次品至少称1次，解决9个零件所需的次数。接着，利用9个零件找次品至少称2次，解决27个零件称的次数问题；继续利用27个零件找次品至少称3次，解决81个零件至少要称的次数问题；等等。这个思考过程的展示，充分凸现化归思想的运用。）

2.利用策略解决区间数称的次数问题。

（1）10～27个零件

师：在4～9个零件中找出次品，都是至少称2次。从10～27个零件中找出次品，至少称几次？（学生举例验证）

（2）28～81个零件

师：有一个箱子里有50个零件，其中一个是次品（稍轻），至少要称几次保证能找出次品？

（3）100个零件

师：有一批零件有100个，其中1个是次品（稍轻），至少称几次保证能找出次品？猜一猜需要几次。（同桌合作，分一分，写一写）

生：100（33，33，34） 34（11，11，12） 12（3） 3+1+1=5次；33（11，11，11）11（3） 3+1+1=5次。

（设计意图：从单个零件数拓展到区间零件数找次品，问题解决的策略再次获得新的生长点，充分体现了策略的价值。以提取不同区间内的零件数来验证策略，并通过分一分、写一写等形式，自觉应用化归思想来解决问题。）

六、全课小结（略）

【课后反思】

数学广角已成为渗透数学思想方法的一个重要载体。在人教版教材中，以单元“数学广角”为呈现形式，较为集中地安排了训练数学思维的教学内容，加大渗透数学思想方法的力度。

一、体验过程，感悟数学思想

本节课主要以“找次品”这一操作活动为载体，让学生通过观察、猜测、试验等方式感受解决问题策略的多样性。在此基础上，通过归纳、推理的方法体会运用化归、优化思想解决问题的有效性，感受数学的魅力。

首先，解决从2个或3个零件中找次品至少所需称的次数。再在4～9个零件数中找次品，把它化归为2个或3个零件数来解决。接着，又将27个（3个9）零件数化归为9个零件数、81个（3个27）零件数化归为27个零件数来解决找次品问题，以此类推。最后由单个零件数拓展到区间数的找次品问题，进一步感悟化归思想。

二、感受策略价值，让学生学会数学地思维

本节课，先从6个零件中找次品的两种不同方案中归纳出：将零件数分成3份，称的次数少。并观察在9个零件中找次品，都是将9个零件分成3份，怎样分称的次数会少？从中进一步梳理出：每份是平均分比较好。最终形成解决“找次品”的策略：把零件数分成3份，而且尽量平均分，这样就会以最少的次数保证找出次品。然后，应用策略去解决更多待测零件数的问题，比如待测零件数为27、81个以及区间内的零件个数等，从而进一步体会策略的价值，培养学生数学地思考问题，提高学生分析、解决问题的能力。

（浙江省宁波市海曙中心小学 315000）