抛物线三问题
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1.已知点A（2，8），B（x1，y1），C（x2，y2）在抛物线y2=2px上，ABC的重心与此抛物线的焦点F重合（如图）
（1）写出该抛物线的方程和焦点F的坐标；
（2）求线段BC中点M的坐标；
（3）求BC所在直线的方程。
解：（1）由点A（2，8）在抛物线上y2=2px，有82=2p・2，
解得p=16. 所以抛物线方程为y2=32x，焦点F的坐标为（8，0）.
（2）如图，由于F（8，0）是ABC的重心，M是BC的中点，所以F是线段AM的定比分点且■=2。设点M的坐标为
（x0，y0），则■=8，解■=0，解得x0=11，y0=-4，
所以点M的坐标为（11，-4）。
（3）由于线段BC的中点M不在x轴上，所以BC所在的直线不垂直于x轴。设BC所在直线的方程为：y+4=k（x-11）（k≠0），
由x+4=k（x-11）y2=32x，消x得ky2-32y-32（11k+4）=0，
所以y1+y2=■。由（2）的结论得■=-4，解得k=-4。
因此BC所在直线的方程为：4x+y-40=0。
点评：此题综合了三角形重心及直线与抛物线的弦中点问题，要求学生有较强的综合运算能力。
二、抛物线中弦长问题
2.已知顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线，截直线
2x-y+1=0所得弦长为■，求抛物线方程。
解：设抛物线方程为y2=ax，
y2=ax2x-y+1=0？圯4x2+（4-a）x+1=0？圯x1+x2=■x1・x2=■
所以根据弦长公式d=■|x1-x2|
■=■・■？圯a=12或a=-4。
所以y2=12x或y2=-4x。
点评：此题主要结合韦达定理运用平面几何中的弦长公式，另外还要注意漏解的问题，此题中说明“焦点在x轴上”。因此要特别注意。
三、抛物线与直线对称问题
3. 已知抛物线y=ax2-1上恒有关于直线x+y=0对称的相异两点，求a的取值范围。
解：设在抛物线y=ax2-1上关于直线x+y=0对称的相异两点为P（x，y），Q（-y，-x），则
y=ax2-1，-x=ay2-1。由①-②，得x+y=a（x+y）（x-y）。
因为P、Q为相异两点，
所以x+y≠0。又a≠0，
所以x-y=■，即y=x-■。代入②，得a2x2-ax-a+1=0，
其判别式？驻=a2-4a2（1-a）>0，解得a>■。
点评：此题首先要注意关于直线对称点的设法，另外还需注意理解两相异点的含义。
（南昌市第十九中学 江海明 责编：蔡志敏）