做好概念教学 发展学生能力

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我们知道，概念是思维的细胞，“数学根本上是玩概念的，不是玩技巧，技巧不足道也！”.所以我们要重视基本概念的教学，做好概念教学，发展学生的能力，使每一个学生都能获得良好的数学教育.

试题回放：（南京市2011年初中毕业生学业考试第27题）如图1，P为ABC内一点，连接PA、PB、PC，在PAB、PBC和PAC中，如果存在一个三角形与ABC相似，那么就称P为ABC的自相似点．

(1)如图2，已知RtABC中，∠ACB=90°，∠ABC＞∠A，CD是AB边的中线，过点B作BECD，垂足为E.试说明点E是ABC的自相似点．

(2)在ABC中，∠A＜∠B＜∠C．

①如图3，利用尺规作出ABC的自相似点P（写出作法并保留作图痕迹）；

②若ABC的内心P是该三角形的自相似点，求该三角形三个内角的度数．

解析：(1)BECD，∠BEC＝90°，又∠ACB＝90°，∠BEC=∠ACB,

在Rt ABC中，CD是AB上的中线，AD=DC，∠A=∠ACD．

又∠ACD+∠DCB=90°,∠EBC+∠DCB=90°

∠ACD＝∠EBC，∠A＝∠EBC．

BEC∽ACB．

E是ABC的自相似点．

（2）①作图略．作法：仿照图2.

（i）在∠ABC内，作∠CBE＝∠A；

（ii）在∠ACB内，作∠BCD＝∠ABC；BE交CD于点P．根据自相似点的定义可知点P为ABC的自相似点．

②连接PC、PB．P为ABC的自相似点，且∠A＜∠B＜∠C BCP∽ABC．

P为ABC的内心，∠PBC=12∠ABC，∠PCB=12∠ACB．

∠A＝∠PBC=12∠ABC;∠BCP=∠ABC，

∠BPC＝∠ACB=2∠BCP=2∠ABC．∠PBC+∠BCP+∠BPC＝180°．

12∠ABC +2∠ABC +∠ABC＝180°．

∠ABC=360°7．

这个三角形的三个内角的度数分别为180°7、360°7、720°7．

赏析：这是一道源于课本三角形相似概念的新概念题，它的设问由易到难，层层深入，对学生信息迁移能力、理解能力、面对新知识的自我学习能力进行了很好地考查，与《课程标准》要求相符合，是一道以人为本的“叫好又叫座”的优秀试题.

本题首先给出了一个新概念――自相似点，要求学生认识和理解这个概念的特征属性，然后通过三个问题反复体验，类比体验自相似点的基本内涵，应用自相似点的性质解决问题.考查学生对该概念的理解程度.

问题(1)要求学生根据新的概念进行判断，考查学生对新知识的理解能力.问题(2)的第①问将概念的深入理解、外延拓展，运用于作图，进一步考查学生对概念内涵的理解、掌握，问题(2)的第②问应用概念的性质解决问题.由此可见，题目呈现的信息丰富，突出了对迁移信息的考查，整个过程体现了理解掌握新概念的学习过程，以及在这过程中考查学生类比思想、操作、猜想论证和严密的数学思维能力.

思考：在教师的引导、启发点拨下，学生数学学习都有初步的经历和直接获取经验方法的过程，然后有一个独立思考的体验的过程，这一过程是消化汲取的过程，不同学生的差距较大，加强对这个过程的考查有助于提高考试的效度.这对于教学和试题编制都有借鉴作用.

学生理解和掌握概念的方式有两种，一种是概念的同化，它是利用学生已经掌握的概念知识，以定义的方式揭示概念的本质特征（这道中考题采取的方式就是这种）；另一种是概念的形成，它是在大量具体的问题情境，利用化归思想从中提取同类事物的本质特征，从而形成概念.由于学生（特别是低年级学生）认知能力水平较低，知识经验具体，采用概念同化的方式理解和掌握概念的难度较大.因此初中学生学习概念的方式应更多地采用概念形成方式，即从典型、丰富的问题情境出发，经过学生自己的实践活动，从中归纳、概括了这一类事物的共同的本质特征，从而理解和掌握概念.