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函数知识是高中数学的重要组成部分。一般地,函数y=f(x)由定义域、解析式、值域三部分组成,如何正确求值域是重点与难点。本文介绍几种常用方法,供读者参考。
1.定义法
在函数y=f(x)中,给定一个x的值,有唯一的函数值y与之对应,所有y值的集合叫函数的值域。
例1已知函数f(x)=y=x2+1,x∈{-2,-1,0,1,2},求值域。
解析:本题中函数表达式已知,自变量x有5个值,与之对应的y值有5个,即5,2,1,2,5。
用集合知识,所求值域为{5,2,1}。
2.配方法
先将函数解析式配方,用二次函数图象,求出函数值域。
例2已知函数f(x)=y=-x2-3x+1,x∈(-2,1],求函数f(x)的值域。
解析:y=-x2-3x+1=-(x+32)2+134,对称轴x0=-32∈[-2,1),
ymax=134,ymin=-3,所以值域为[-3,134]。
3.观察法
先将函数等价变形后,观察表达式,得到值域。
例3函数y=2x-3x+1的值域为______。
解析:y=2x-3x+1=2x+2-5x+1=2-5x+1,
因为5x+1可正可负不为0,故y≠2。
4.基本不等式法
对形如y=ax+bx(a,b∈[WTHZ]R[WTBX]+)的函数,使用基本不等式,可求出值域,但一定要注意使用条件:一正、二定值、三相等。x+1x2-x+2的值域。
分析:由x∈[WTHZ]R,有yx2-(y+1)x+2y-1=0。
①当y=0时,x=-1;
(y+1)2-4y(2y-1)≥0。
②当y≠0时,Δ≥0有-7y2+6y+1≥0,
解之,得-17≤y≤1且y≠0。
由①及②知,-17≤y≤1。
6.导数法
对高次函数或含logax,ax的函数,可采用导数方法求最值与值域。其一般步骤是:求导y′;令y′=0,求出极值点并列表,求极值;比较极值与端点值求出最值。
7.单调性法
先考虑函数的定义域,观察随着x的变化,y值的变化情况,判定函数的单调性,用增(减)函数的性质求值域。
例5求y=2x-3-x的值域。
解析:由3-x≥0,有x≤3,
易知,y在(-
䥺SymboleB@,3]上是增函数,所以y≤6。
8.数形结合法
对已知f(x,y)=0,求υ=φ(x,y)的值域,可利用已学知识采用数形结合的方法,求υ的值域。
(作者单位:湖南省桃江县第一中学)