基于GARCH模型的股市收益与股指波动的实证研究

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【摘要】 文章采用四个市场指数建立以来至2010年12月30日止，运用传统的最小二乘法和改进的自回归条件异方差模型（garch），从A股市场指数的波动性入手，研究四个市场收益率的特征，对指数序列的分布、序列的平稳性和异方差进行检验，从而对A股市场指数的波动有更深刻的认识和把握。

【关键词】 GARCH模型； 收益率； 波动性

在证券市场博弈中，股市收益与股指波动的研究是金融工程的一大难题，国内外证券市场研究者及实际工作者都在寻求这方面研究的突破。本文分析了中国A股市场上市以来各市场指数的收盘价，研究股市的收益及波动性，寻求这方面研究的突破。

一、理论模型

由于平稳性在经济预测中的重要性，对一个时间序列的平稳性进行检验是非常有必要的。所谓平稳时间序列是指序列的均值、方差、协方差和相关系数等是不随时间的变化而变化，时间序列在各个时间点上服从一定的随机概率分布。所以本文采用标准检验时间序列平稳性的ADF检验法对四个市场的对数序列进行平稳性检验，其基本形式采用如下公式：

ln（shhpricet）=ρln（shhpricet-1）+ut （1）

其中ut是白噪声（零均值、恒定方差、非自相关）的随机误差项。若参数ρ

若上海收盘指数的对数序列有向上的时间趋势，采用时在公式上添加时间趋势项：

复合收益计算公式LS=ln（pt）-ln（pt-1）。

二、实证分析

数据是从行情软件获取，由于时间序列分析本身需要很大的样本量才能使结果更有说服力，所以本文采集样本时期是上证综合指数从1990-12-20至2010-9-30日止，深证成指从1991-4-4至2010-9-30日止，沪深300指数从2002-1-7至2010-9-30日止，中小板指数从2006-1-25至2010-9-30日止。通过对数据采用时间系列分析软件处理Eviews5.0，上证、深圳、沪深300、中小板A股各月的日平均收益曲线图如图1。

由图1可知：上证综合指数的日平均收益是7E-4，深圳成指的日平均收益为5E-4，沪深300指数的日平均收益4E-4，中小板指数的日平均收益是13E-4；衡量股票收益波动性的标准差四个市场分别是2.58%、2.35%、1.87%和2.3%；数据表明中小板A股平均收益高于上海板块A股、沪深300A股、深证A股。其中沪深300 A股平均收益低于所有板块；此外四个市场中沪深300市场最稳定，其余三个市场股市波动性差别不大。

在上海A股市场中，负的日平均收益来自于下半年中的七、九、十月份，尤其十月负的收益最为严重。其余月份均为正的收益，正收益的月份中其中二、四、五、十一月份平均收益较高。通过JB统计量、偏度及峰度结果分析，沪市A股市场中没有一个月份服从正态分布。从每月总收益来看，四月收益和最大为85.08%，十月收益和最差为-58.37%。五月收益波动性最大，一月收益波动性最小。一、三、十、十二月份为左偏倚，其它月份均为右偏倚，整个年度所有月份的分布都呈现厚尾特征。

在深市A股市场中，负的日平均收益来自于六、七、八、九、十二月份，其中六月份收益最低，正的收益中2月份最高。月份总和收益中4月份最大为86.61%，6月份收益最低-25.77%。衡量收益波动性指标标准差，5月份最大为2.82%，3月份为1.77%。所有月份均不服从正态分布，一、七、十二月份为左偏倚，其余月份均为右偏倚。深市A股市场中整个年度所有月份的分布都呈现厚尾特征。

在沪深300A股市场中，收益为负月份均来自上半年的五、六、八、十月，其中十月收益最低为-0.22%，正收益的月份中，二月、七月、十二月收益比较高，其中二月收益最高为0.25%。衡量收益波动性的标准差指标显示，一月份波动最大为2.21%，十二月份的波动性最小为1.47%。四月、九月、十一月份为右偏倚，其余月份均为左偏倚。整个年度所有月份的分布均呈现厚尾特征。全年月份的日平均收益都呈现厚尾特征。

在中小板A股市场中，收益为负的月份为六月、八月、十月份，其中十月份收益最低为-0.37%，收益为正的月份中较高的是十二月、七月、四月和十一月份，其中十二月份为0.51%。衡量收益波动性的标准差中，波动最大的六月份为2.73%，波动最小的十二月份1.89%。整年月份中只有九月份是右偏倚，其余月份均为左偏倚。从JB统计量、峰度、偏度结果显示，一月份近似服从正态分布。

我国A股市场的指数收益均为正的月份是一、二、三、四、十一月。四个市场中有三个为正的月份是五、十二月。四个市场中有三个为负的月份是六、八月、十月。中小板中收益显示，四月份、七月份、十一月份、十二月份收益较高。从图1可以看出，四月份恰好是中小板年报和第一季报密集公布时期，即所谓的年报行情。年报行情在四月份前表现较好。其次就是半年报行情，中小板最为显著出现在7月份，但是上海板块比中小板推迟一个月即8月份体现半年报行情。

三、检验结果及解释

（一）A股市场的平稳性检验

图2是上证综指检验序列曲线图，从图2可以看出检验序列不存在明显偏离0位置的随机变动，可以认为所检验序列均值为0。从图3中知上海收盘指数的对数序列有向上的时间趋势。因此在公式上添加时间趋势项。

利用公式（3）进行ADF检验，结果如图4-图7所示：

图4的结果显示，检验t统计量-3.3911

-3.1272，表明接受原来假设，深证成指对数序列是不平稳的。

图6的结果显示，检验t统计量-1.3241>-3.1272，表明接受原来假设，沪深300对数序列是不平稳的。图7的结果显示，检验t统计量-1.7459>-3.1272，表明接受原来假设，中小板指数对数序列是不平稳的。

（二）四个市场的单整检验

图8的结果显示，检验t统计量为-66.35，远远小于显著性水平为1%的临界值-2.5654，表明至少在99%的置信水平下拒绝原假设，即接受原假设的概率为0，因此认为上证综指LS序列的一阶差分序列LS不存在单位根，LS序列是平稳的。即上证综指LS序列是一阶单整序列I（1），上证指数的收益率序列是平稳的，是随机游走的，上海市场是一个有效的市场。同理可知，深圳成指、沪深300指数和中小板指数的LS序列均是一阶单整序列I（1），其指数的收益率序列是平稳的，是随机游走的，说明四个市场是一个有效的市场。

（三）A股市场的GARCH模型

为检验A股市场收盘价格的波动是否具有条件异方差性，本文对四个市场指数的对数序列进行检验。所谓条件异方差性是指预测数据与实际数据的误差常常成群出现，在不同时期的误差区别较大，误差项的条件方差不是某个自变量的函数，而是随着时间的变化并且依赖于过去误差的大小。利用最小二乘法对式（1）进行估计：

ln（shhpricet）=1.000076ln（shhpricet-1）+ut （4）

SE=5.17*10-5，t=（19 336.58）

R2=0.9988，对数似然值=10 856.42，AIC=-4.4774，SC=-4.476

这个方程是上证综指对数序列的估计，得出的统计量很显著，拟合程度也很好。但是观察该拟合方程的残差序列可发现有波动“成群”的现象，说明上证综指对数序列可能具有条件异方差性，因此对（4）式进行条件异方差的ARCH LM检验，通过检验得到滞后阶数Q=3时的ARCH LM检验结果：LM统计量是16.6，相伴概率为0.000854，明显小于显著性水平0.01，说明残差序列不仅存在ARCH效应，而且存在高阶ARCH效应，即GARCH效应。

ln（szpricet）=1.000058ln（szpricet-1）+ut （5sz）

SE=4.16*10-5，t=（24 067.18）

R2=0.999031，对数似然值=11098.16，AIC=-4.664631，SC=-4.663272

从式（5sz）是深成指对数序列的估计，得出的统计量很显著，拟合程度比上海综指拟合更完美。但是观察该拟合方程的残差序列可发现有波动“成群”的现象，说明深成指对数序列可能具有条件异方差性，因此对（5sz）式进行条件异方差的ARCH LM检验，通过检验得到滞后阶数Q=3时的ARCH LM检验结果：LM统计量是315.79，相伴概率为0.000000，明显小于显著性水平0.01，说明残差序列不仅存在ARCH效应，而且存在高阶ARCH效应，即GARCH效应。同理可得，沪深300和中小板对数序列残差序列不仅存在ARCH效应，而且存在高阶ARCH效应，即GARCH效应。其中拟合程度最好排序为中小板、沪深300、深证成指和上证综指。

从表1中的结果可以看出GARCH（1，2）模型的AIC值和SC值均最小，因此选择GARCH（1，2）模型对式（5）进行重新估计，结果如下：

均值方程：

ln（shhpricet）=1.000026ln（shhpricet-1）+ut （6）

SE=2.18*10-5，t=（45 886.66）

方差方程：

R2=0.998794，对数似然值=12334.77，AIC=-5.0855，SC=-5.0788

主模型中，变量ln（shhpricet）的系数估计值近似为1，表明是单位根过程。方差方程中的ARCH项和GARCH项的系数之和>1，不满足参数约束条件，这说明上证综指的对数序列条件方差序列是非平稳的，模型不具有预测性。ARCH的系数分别为0.2和0.1，表明前两期的收盘指数的波动会加剧下一期的波动，这就需要市场经济自身的内在机制去耗散前两期的影响；GARCH的系数为0.7665，表明上证综指波动的记忆性较强，且上证综指自身会放大前期的波动。也就是说，我国的市场经济自身还不完全具备自我稳定机制，需要外部干预使其保持稳定。同理，研究发现，其余三个市场指数序列也是单位根过程，是非平稳的，不具有预测性，A股市场不完全具备自我稳定机制，需要外部干预使其保持稳定。

四、结论与建议

通过对我国A股市场指数的实证分析，运用经济学的理论对中国A股市场指数的分析和检验，我们可以获得下面一些重要结论：

第一，上证综指最大月份收益是二月份0.22%，最低收益是十月份-0.17%，所有月份的平均收益没有一个月份服从正态分布，所有月份都呈现尖峰厚尾特征；深证成指最大月份收益是二月份0.23%，最低是六月份-0.06%，所有月份的平均收益均不服从正态分布，都呈现尖峰厚尾特征；沪深300最大收益月份是二月份0.25%，最低是十月份-0.22%，全年月份的日平均收益都呈现尖峰厚尾特征。

第二，中小板指收益最大月份为十二月份0.51%，最低是十月份-0.37%，一月份日均收益近似服从正态分布，只有九月份是右偏倚。

第三，上证综指、深证成指和沪深300指数存在二月份效应。中小板存在十二月份效应。

第四，四个市场一月至四月及十一月日均收益为正，出现了年度行情效应，即所谓的年度行情就是上半年前四个月，恰好这个期间是年报和季报密集公布时期。数据研究结果表明中小板的半年报行情在七月份，上海的半年报行情在8月份。

第五，运用ARCH LM检验结果表明，四个指数的收益序列是平稳的，四个指数的对数序列存在高阶ARCH效应，也是单位根过程，是非平稳的，不具有预测性，A股市场不完全具备自我稳定机制．需要外部干预使其保持稳定，因此，当股市处于波动较大的时候，政府更加要注重保护投资者的利益。

第六，股市的波动性持续的时间较长，说明了当证券收益率收到宏观政策、国际局势等因素影响出现异常波动后，需要很长时间才能够消除影响。因此，管理当局在出台政策时应更加稳健，对市场的调控也更应从长远的角度考虑，把握好政策的调控力度。

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