隐性几何概型三招致胜
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浙江绍兴实验中学 312030
摘要：几何概型的概率问题是新课程的新增内容，学生对明显是点分布的几何概型问题较容易理解，但对一些隐性点分布的几何概型问题觉得困难. 笔者从等价转化角度解决此类问题，着重讲述了三种方式，即“长度”化、“面积”化、“体积”化.
关键词：分布；几何概型
[⇩]知识准备
一般地，在几何区域D中随机地取一点，记事件“该点落在其内部一个区域d内”为事件A，则事件A发生的概率P（A）=．
说明：（1）D的测度不为0；
（2）其中“测度”的意义依D确定，当D分别是线段、平面图形、立体图形时，相应的“测度”分别是长度、面积和体积；
（3）区域D内随机取点是指该点落在区域内任何一处都是等可能的，落在任何部分的可能性大小只与该部分的测度成正比而与其形状、位置无关．
1. “长度”化
（1）等价为线段上的点的分布⇒P=线段长度之比
例1 某公共汽车站每隔10分钟便有一辆汽车到达，乘客到达车站的时刻是任意的，求一个乘客候车时间不超过7分钟的概率.
解析 此题可把时间等价成［0，10］刻度线段上的点，则几何区域D的测度为10， 乘客候车时间不超过7分钟的区域为线段［3，10］上的点，则区域d的测度为7，故P=.
拓展 某公共汽车站，每隔15分钟有一辆车发出，并且发出前在车站停靠3分钟.
①求乘客到站候车时间大于10分钟的概率；
②求乘客到站候车时间不超过10分钟的概率；
③求乘客到达车站立即上车的概率.
（参考答案：，，，这3分钟是包含在15分钟之内的）
点评 一个时刻是一元问题，相当于坐标中的一维，基本上都可等价到特定线段上的点，此例就较好地利用线段上的点等价于时间，使得问题易理解、易解决.
（2）等价为弧上的点的分布⇒P=弧长之比⇒P=角度之比
例2 如图1，在等腰直角三角形ABC中，过直角顶点C在∠ACB内部任作一条射线CM，与线段AB交于点M，求AM＜AC的概率.
[M][C′][D][B][C][A]
图1
解析 本题把射线等价于圆弧AB（以C为圆心）上的点，符合几何概型. 如图1，∠ACC′=∠AC′C，则区域D为弧AB，区域d为弧AD，则P====.
拓展 在等腰直角三角形ABC中，在斜边AB上任取一点M，求AM小于AC的概率．
解析 点M随机地落在线段AB上，故线段AB为区域D． 当点M位于图2中线段AC′内时，AM
在AB上截取AC′=AC，于是
P（AM＜AC）＝P（AM＜AC′）===．
[C′][M][A][B][C]
图2
点评 例2只涉及一条射线，也是一元，但我们为什么不等价到线段上的点，而是等价到了弧上的点？那是因为等价到线段上的点破坏了等可能性（因为线段相等时射线扫过的区域不同，但弧长相等时射线扫过的区域相同），故我们在等价的过程中不仅要注意一一对应，还需考虑符合几何概型的等可能性.
2. “面积”化
（1）等价为直角坐标系中平面区域内的点的分布⇒P=面积之比
例3甲、乙两人相约7点到8点在某地会面，先到者等另一人20分钟，过时就可离去，试求这两人能会面的概率.
解析 把两人到达的时间等价于平面直角坐标平面内的点，符合几何概型.
以x，y分别表示两人到达会面地点的时刻，则会面的充要条件为x－y≤20 . 如图3，区域D为正方形，区域d为阴影部分，则两人能会面的概率为
P（A）==.
[y][x][20][60][O][20][60]
图3
拓展 上例其他条件不变，但甲等乙20分钟，乙只等甲15分钟，则概率如何？
（提示：实质是|x－y|≤20改为0≤y－x≤20或0≤x－y≤15）
例4 从（0，1）中随机地取两个数，求下列情况下的概率：
①两数之和小于1.2；
②两数平方和小于.
解析 取两数，等价于直角坐标系内的一点，则转化为了平面区域内的点.
[y][1.2][1][x+y=1.2][1.2][x][图4][1][0.5][0.5][图5][O][O][x][y]
①如图4，P==0.68.
②如图5，P==.
点评 例3涉及两个时间，例4涉及两个数，都是二元（二维）问题，一般情况下，它们都可等价转化为直角坐标系内的点，它们之间是一一对应关系. 上两例就是通过二维点的转化使得问题迎刃而解的.
（2）等价为平面图形内的点的分布⇒p=面积之比
例5 假设点在圆内均匀分布，在半径为1的圆周上任取两点，连成一条弦，求弦长超过其内接正三角形的边长的概率.
解析 圆内弦可与弦中点一一对应，故把弦的分布问题转化为圆内点的分布问题，而且点在圆内均匀分布. 分析可得， 要使弦长超过其内接正三角形的边长，只要弦中点到圆心的距离小于0.5即可，故区域D为大圆，区域d为半径为0.5的同心圆，故P==.
（误解：P==，原因在于不等可能）
例6 在一个大型商场的门口，有一种游戏是向一个画满边长为5 cm的均匀方格的大桌子上投直径为2 cm的硬币，如果硬币完全落入某个方格中，则掷硬币者赢得一瓶洗发水. 请问随机掷一个硬币正好投进格子的概率有多少？
解析 本题的关键是把硬币等价于圆心一点，则符合几何概型. 硬币能否落入正方形区域（区域D）内，关键看硬币的中心落在某个方格中的哪个位置. 若要使硬币落入方格内，则其中心距方格边界至少有一个硬币半径的长度（即1 cm）. 因此，要使硬币落在方格内，硬币的中心必须落在如图6所示的以正方形的中心为中心，以3 cm为边长的小正方形表示的区域d中. 故P==.
[3][5][图6][图7]
拓展1 将上题改为：现用直径等于2 cm的硬币投掷到某边长为5 cm的正方形方框中（硬币完全落在正方形外的不计），求硬币落下后完全落入正方形的概率.
（P==，提示：区域d仍然不变，但区域D改变了，如图7）
拓展2 有一个半径为5的圆，现在将一枚半径为1的硬币向圆投去，如果不考虑硬币完全落在圆外的情况，试求硬币完全落入圆内的概率． （参看图8）
[4][5][6][O]
图8
点评 上面两个拓展都经历了两次等价，即模型转化（把线段与硬币转化为点，要特别注意一一对应）和满足条件的等价转化. 需要注意的是，转化后的等可能性的检验必不可少，例5的误解就出在等可能上. 另外，例6的两个问题的拓展要注意区分，我们需要达到触类旁通的效果.
3. “体积”化
（1）等价为空间直角坐标系中空间区域内的点的分布⇒P=体积之比
例7 在［0，1］上分别取三个数，求使得任意两数之和大于第三个数的概率.
解析 在［0，1］上分别取三个数等价于空间直角坐标系的一点（x，y，z）， 使得任意两数之和大于第三个数，即x+y>z，
x+z>y，
y+z>x， 分析可得，如图9，区域D为边长为1的正方体AG，区域d为六面体DBEGF，故P==.
[C][y][z][G][F][H][E][A][x][B][D]
图9
拓展 在线段AB上任取三点C，D，E，求以AC，AD，AE为边能构成三角形的概率. （注：解答与上例完全一样）
点评 上例涉及三数，即三元（三维）问题，可与空间坐标一一对应，使得问题得以转化. 一般情况下，三元可以向空间坐标对应考虑.
（2）等价为空间几何体内的点的分布⇒P=体积之比
例8 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1，在正方体内作四棱锥M-ABCD，求使四棱锥M-ABCD的体积小于的概率.
解析 四棱锥M-ABCD取决于顶点M的位置，故把它等价于正方体内点的分布问题.
如图10，由题可得区域D为正方体ABCD―A1B1C1D1， M―ABCD的体积小于得M点到底面ABCD的距离小于0.5，故区域d为长方体ABCD―EFGH，所以P==.
[A1][D1][C1][B1][G][C][F][B][A][E][H][D][M][・]
图10
点评 上述例解答抓住了几何体的特征，把体与点对应起来，在几何体内研究点的分布也是一种较常用的策略.
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