关注通性通法 适当灵活处理

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摘 要：每一个数学问题通常有所谓的通性通法与特殊解法，教学中既要注重通性通法的示范效应，又要适当应用特殊解法，关键是应用得自然，衔接得紧密，二者不是对立的，而是统一的． 本文结合一道与向量相关的三角形求值问看解题方法的发现与运用．

关键词：通性通法；特殊解法；向量；三角形

众所周知，对于每一个数学问题通常有所谓的通性通法与特殊解法，那么这些方法在解题时是如何体现与运用的呢？下面结合一道与向量相关的三角形求值问题看解题方法的发现与运用．

例题：已知O是ABC的外心，AB=2，AC=3，x+2y=1，若 =x+y（xy≠0），则cos∠ABC=________．

本题涉及向量夹角求解，画图分析向量与角的关系，很容易有如下方法．

思想方法一：利用向量夹角计算公式，转化为求a•b，结合O为ABC外心．

法一：由外心性质?圯==?圯－=－=，两边平方结合AB=2，AC=3，可得•=2，•=．

由已知=x+y，两边分别数乘向量，，得4x+y•=2，x•+9y=．

再由x+2y=1，令•=k，可得：4x+yk=2，kx+9y=，x+2y=1， 结合xy≠0，解得x=－，y=，k=，

从而cos∠ABC==．

法二：由外心定义?圯－，－，

利用向量垂直性质得：

－•=0?圯•=2，－•=0?圯•=，

下同法一．

由于向量的运算在直角坐标下相对具有简化性，于是又有如下方法．

思想方法二：联想向量坐标表示与运算，利用解析思想．

法三：以AB所在直线为x轴，A为原点建立直角坐标系，设∠ABC=θ，则由已知可得A（0，0），B（2，0），C（3cosθ，3sinθ），从而=（2，0），=（3cosθ，3sinθ），=x+y=（2x+3ycosθ，3ysinθ）． 仿法一或二得•=，从而9ycos2θ+6xcosθ+9ysin2θ=?圯6xcosθ=－9y，结合x+2y=1，xy≠0，可得cosθ=．

当然，此时也可以利用外心定义求AB，AC两边中垂线交点得外心坐标（从略）．

由于图形中向量关系表示与求解往往会结合图形性质转化、简化求解，于是转向，得如下方法．

思想方法三：利用已知向量关系进行向量变化，结合几何图形性质进行转化求解．

法四：由=x+y，结合x+2y=1，=（1－2y）+y?圯－=－2y+y，延长AB到D，使AD=2AB． 利用数乘向量及向量减法几何运算得=y．

由数乘向量定义得∥?圯BO∥DC，延长BO交AC于E，利用B是AD中点，得E为AC中点. 又O为外心，故BEAC，再结合AB=2，AC=3，可得cos∠ABC==．

最后分析由=x+y，结合x+2y=1，联想三点共线向量关系，从而转向构造向量共线关系，得如下方法．

法五：取AC中点E，由数乘向量定义可得=2，由=x+y，得=x+2y.

结合x+2y=1，联想向量共线关系得B，O，E三点共线，下同法四（从略）．

至此，我们不仅从图形中相关向量求解的一般思想与特殊方法诸方面完成了本题的探索，还可以发现条件中=x+y（x+2y=1）的特殊地位，如果换一个数字关系，如x+y=2，x+3y=1，那么问题又怎样呢？不难发现三角形不一定是等腰三角形，因此不能利用图形性质简化求解了． 因此我们有理由提倡在寻求问题解法的时候，更多地要关注通性通法，再适当注意灵活处理及特殊结论的应用．